totale diffbarkeit offene meng < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mi 23.09.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute
warum setzt man bei der definition der totalen diffbarkeit einer funktion f voraus, dass der definitionsbreich offen ist?
normal wird sowas gefordert, wenn umgebungen von punkten zu betrachtet werden, aber in der definition ist nichts dabei, was irgendwo was mit umgebungen zu tun hat.
gruß :)
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Weil es sonst Probleme mit den rechts und linksseitigen limes gibt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Mi 23.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Weil es sonst Probleme mit den rechts und linksseitigen
> limes gibt
AriR spricht von Funktionen mit mehreren Variablen, dann sind aber die Begriffe "linksseitiger Limes" und "rechtseitiger Limes" sinnlos !
FRED
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Mi 23.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> hey leute
>
> warum setzt man bei der definition der totalen diffbarkeit
> einer funktion f voraus, dass der definitionsbreich offen
> ist?
Ich nehme an, Du sprichst von Funktionen mit mehreren Var.
Dass man bei der Def. der Differenzierbarkeit einen offenen Def. -Bereich voraussetzt ist meist Bequemlichkeit. Bei nicht offenen Def. -bereichen ist die Def. der Differenzierbarkeit in Randpunkten nicht ganz einfach.
FRED
> normal wird sowas gefordert, wenn umgebungen von punkten zu
> betrachtet werden, aber in der definition ist nichts dabei,
> was irgendwo was mit umgebungen zu tun hat.
>
> gruß :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mi 23.09.2009 | | Autor: | AriR |
verstehe leider nicht ganz warum :(
wenn ich zB eine funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] betrachte.
dann ist die ableitung an einer stelle [mm] x_0\in\IR [/mm] gerade:
[mm] \lim_{h\to0,h\not=0,h+x_0\in\IR}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
würde ich jetzt beispielsweise f auf eine abgeschlossen Teilmenge [mm] I\subset\IR [/mm] einschränken, dann wäre der grenzwert gerade
[mm] \lim_{h\to0,h\not=0,h+x_0\in I}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
und es würde wieder keine probleme geben oder? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Mi 23.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Also sprichst Du doch nicht von Funktionen von mehreren Variablen ?
Wenn das so ist, so hast Du recht. Bei Funktionen von einer Var. muß man sich wirklich nicht auf offene Definitionsbereiche beschränken und in der Regel tut man das auch nicht
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Do 24.09.2009 | | Autor: | AriR |
nein meinte doch schon in mehreren veränderlich, hab das jetzt nur im 1-dim veranschaulicht was sicher nicht so schlau war :)
die sache ist doch aber eigentlich die:
man will wie gesagt, dass die eps-Umgebungen der Punkte aus U wieder in U liegen. dies möchte man denke ich mal, um besser über Abstände reden zu können. man könnte doch aber auch anstatt beispielsweise eine epsilonumgebung eines punktes [mm] x_0\in [/mm] U auch den direkten abstand über die euklidische Norm nehmen und müsste somit nicht mehr von umgebungen sprechen und das ohne sich die sache großartig zu verkomplizieren.
wenn ich zB sage, eine folge [mm] a_n [/mm] konvergiert gegen [mm] x_0 [/mm] genau dann, für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] es ein [mm] N\in\IN [/mm] gibt, so dass die [mm] a_n\in B_\varepsilon(x_0) [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N (wobei [mm] B_\varepsilon(x_0) [/mm] die eps-Umgebung um [mm] x_0 [/mm] sein soll)
könnte ich doch genau so gut sagen
[mm] a_n [/mm] konvergiert gegen [mm] x_0 [/mm] genau dann, wenn es für für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] gibt, so dass die [mm] ||a_n-x_0|| [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N
und das problem, dass eine Umgebung von [mm] x_0 [/mm] definiert sein muss ist nicht mehr da.
andererseits ist doch die eps-umgebung folgendermaßen definiert:
[mm] B_\vareps(x_0)=\{x\in U : ||x-x_0||\le\varepsilon \} [/mm] wäre somit nicht auch die eps-umgebung für einen randpunkt wohldefiniert?
es sind halt nur die punkte aus [mm] \IR [/mm] in der Umgebung, die auch in U liegen.
hab das ganze glaub ich sehr verwirrend formuliert, tut mir leid, war in sowas noch nie ein talent
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Do 24.09.2009 | | Autor: | pelzig |
> nein meinte doch schon in mehreren veränderlich, hab das
> jetzt nur im 1-dim veranschaulicht was sicher nicht so
> schlau war :)
In der Tat. Totale Differenzierbarkeit ist ein viel allgemeineres Konzept.
> man will wie gesagt, dass die eps-Umgebungen der Punkte aus U wieder in U liegen.
Man will dass es zu jedem Punkt aus U einen [mm] \varepsilon-Ball [/mm] gibt, der noch ganz in U liegt.
> dies möchte man denke ich mal, um besser über Abstände reden zu können.
Hä?
> man könnte doch
> aber auch anstatt beispielsweise eine epsilonumgebung eines
> punktes [mm]x_0\in[/mm] U auch den direkten abstand über die
> euklidische Norm nehmen und müsste somit nicht mehr von
> umgebungen sprechen und das ohne sich die sache großartig
> zu verkomplizieren.
In der Mathematik ist "euklidisch" in fast allen Fällen nichts weiter als eine "willkürliche" Wahl, und man ist bestrebt sowas zu umgehen. Dass man so erpicht auf "offene Mengen" und "Umgebungen" ist, liegt einfach an der Art, wie unser mathematisches Gebäude (zur Zeit) aufgebaut ist, es ist nämlich so, dass praktisch alle Räume, auf denen man Analysis betreiben kann (z.B. der [mm] $\IR^n$ [/mm] aber auch "gekrümmte" Räume (sog. Mannigfaltigkeiten) wie die 4-dimensionale Raumzeit der allgemeinen Relativiitätstheorie oder unendlich-dimensionale Funktionenräume) auch "![[]](/images/popup.gif) topologische Räume" Räume sind. D.h. wenn man so viel wie nur irgend möglich mit topologischen Begriffen definiert - und die Topologie handelt genau von "Umgebungen", "offenen Mengen" usw. - dann hat man all die konkreten Fälle gleich mit abgearbeitet. Dass die Topologie nun "der Weisheit letzter Schluss" ist, ist wohl eher unwahrscheinlich, aber es ist einfach die Sprache, mit der sowas zur Zeit beschrieben wird.
> wenn ich zB sage, eine folge [mm]a_n[/mm] konvergiert gegen [mm]x_0[/mm]
> genau dann, für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] es ein [mm]N\in\IN[/mm] gibt, so
> dass die [mm]a_n\in B_\varepsilon(x_0)[/mm] für alle [mm]n\ge[/mm] N (wobei
> [mm]B_\varepsilon(x_0)[/mm] die eps-Umgebung um [mm]x_0[/mm] sein soll)
> könnte ich doch genau so gut sagen
> [mm]a_n[/mm] konvergiert gegen [mm]x_0[/mm] genau dann, wenn es für für
> alle [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]N\in\IN[/mm] gibt, so dass die
> [mm]||a_n-x_0||[/mm] für alle [mm]n\ge[/mm] N
>
> und das problem, dass eine Umgebung von [mm]x_0[/mm] definiert sein
> muss ist nicht mehr da.
Was du da schreibst ist natürlich richtig, aber wir reden ja auch nicht über Konvergenz von Folgen.
Bei der Differenzierbarkeit wird wesentlich mehr verlangt.
Die Offenheit des Definitionsbereiches braucht man (abgesehen davon, dass es ästhetisch ist) für die Eindeutigkeit
der Ableitung. Ist der Definitionsbereich U nicht offen, dann kann man Differenzierbarkeit im Randpunkt [mm] $x_0\in [/mm] U$ definieren als "Man kann die Funktion so fortsetzen, dass sie in [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar ist". Dann ist jedoch die Ableitung in diesem Punkt i.A. nicht mehr eindeutig.
> andererseits ist doch die eps-umgebung folgendermaßen
> definiert:
> [mm]B_\vareps(x_0)=\{x\in U : ||x-x_0||\le\varepsilon \}[/mm] wäre
> somit nicht auch die eps-umgebung für einen randpunkt
> wohldefiniert?
Die eps-Umgebung ist für jeden Punkt wohldefiniert.
> es sind halt nur die punkte aus [mm]\IR[/mm] in der Umgebung, die
> auch in U liegen.
Versteh nicht was du damit sagen willst...
Viele Grüße,
Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Fr 25.09.2009 | | Autor: | AriR |
danke für die lange antwort :)
jetzt ist vieles verständlicher, was mich jedoch noch wundert ist, dass wir die ana2 (genau wie im forster2) hauptsächlich nur im [mm] \IR^n [/mm] betrachtet haben und somit die sätze doch eigentlich meist auch nur im [mm] \IR^n [/mm] gültig sind oder nicht?
warum macht man es sich dann "so schwer/umständlich" und definiert beispielsweise die diffbarkeit einer mehr-dimensionalen reellen funktion trotzdem nur über offene mengen, obwohl die funktion nur für den [mm] \IR^n [/mm] definiert ist und für keine allgemeine topologischen räume?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Sa 26.09.2009 | | Autor: | pelzig |
> danke für die lange antwort :)
>
> jetzt ist vieles verständlicher, was mich jedoch noch
> wundert ist, dass wir die ana2 (genau wie im forster2)
> hauptsächlich nur im [mm]\IR^n[/mm] betrachtet haben und somit die
> sätze doch eigentlich meist auch nur im [mm]\IR^n[/mm] gültig sind
> oder nicht?
Richtig. Fast alles was man in Ana2 macht gilt nur im [mm] $\IR^n$.
[/mm]
> warum macht man es sich dann "so schwer/umständlich" und
> definiert beispielsweise die diffbarkeit einer
> mehr-dimensionalen reellen funktion trotzdem nur über
> offene mengen, obwohl die funktion nur für den [mm]\IR^n[/mm]
> definiert ist und für keine allgemeine topologischen
> räume?
Also ich versteh nicht ganz was du an dieser Definition jetzt so schwer findest. In der Mathematik gibt man Dingen, die häufig vorkommen aber sich nicht jedess mal mit drei worten erklären lassen eben einen Namen - so auch den offenen Mengen. In der Analysis hat man eben oft "lokale" Eigenschaften (z.B. Differenzierbarkeit, Stetigkeit, ...), d.h. im Fall von Funktionen z.B. Eigenschaften von Punkten (des Definitionsbereiches), die sich nicht ändern, wenn man die Funktion nur außerhalb einer beliebig kleinen Umgebung des Punktes ändert. Für solche Eigenschaften muss man nunmal zu jedem Punkt auch eine (u.U. winzig kleine) Umgebung um diesen Punkt betrachten können, und daher sind offene Mengen toll: Man muss sich keine Gedanken machen, ob denn so eine Umgebung immer existiert.
Hast du eine "einfacheren" Vorschlag für eine Definition?
Im Falle von Differenzierbarkeit gibt es übrigens eine sehr schöne Möglichkeit, sie auf beliebige Definitionsbereiche auszudehnen:
1) Definiere Diffbarkeit für offene Definitionsbereiche
2) Ist [mm] f:\IR^m\supset M\to\IR^n [/mm] und M beliebig, dann heißt f im Punkt [mm] x_0\in [/mm] M differenzierbar, falls es eine offene Umgebung U um [mm] x_0 [/mm] und eine Funktion [mm] $\tilde{f}:U\to\IR^n$ [/mm] gibt mit [mm] $\tilde{f}|_{M\cap U}=f|_{M\cap U} [/mm] und [mm] $\tilde{f}$ [/mm] ist in [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar im Sinne von Definition 1). (m.a.W.: Falls f sich differenzierbar in [mm] x_0 [/mm] fortsetzen lässt). Man beachte, dass man hierbei i.A. keine sinvolle Defintion für den Wert der Ableitung in [mm] x_0 [/mm] definieren kann.
So ich denk ich habe fürs erste wieder genug an dir vorbei geredet... 
Gruß, Robert
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