totales Differential < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Di 28.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Ich hätte noch einmal eine Frage bezüglich des totalen Differentials.
Vielleicht bringe ich da auch einiges durcheinander.
Bsp: f(x,y,z)= x²*y³+z*x
Bei dieser Funktion sei das totale Differential gesucht.
Ich gehe wie folgt vor:
1. Ist f überhaupt total diffbar?
- Also ich überprüfe die partielle Diffbarkeit der Funktion f
Ist f partiell diffbar? -Ja, da Komposition aus stetigen Funktionen und stetige Funktionen sind diffbar.
Somit ergibt sich für die Jacobi-Matrix J(f,(x,y,z))
J = [mm] \pmat{ 2*x*y³+z & 3*x²*y² & x } [/mm] was auch grad(f,(x,y,z)) ist.
2. Ist f stetig partiell diffbar?
-Ja, da die partiellen Ableitunge alle stetig sind
Somit folgt: f ist total diffbar!!
Aber, wie sieht denn das totale Differenzial meiner Funktion aus???
Vielen Dank!!!
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Hallo,
> Aber, wie sieht denn das totale Differenzial meiner
> Funktion aus???
das totale Differential einer Funktion f(x,y,z) sieht so aus:
[mm]df\; = \;\frac{{\delta f}}
{{\delta x}}\;dx\; + \;\frac{{\delta f}}
{{\delta y}}\;dy\; + \;\frac{{\delta f}}
{{\delta z}}\;dz[/mm]
wobei die Koeffizienten gerade die von der Jacobi-Matrix sind.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Mi 29.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Also wie ich jetzt an das totale Differential herankomme verstehe ich. Aber wie sieht das totale Differential einer Funktion z.B. f(x,y,z) auf dem gesamten Definitionsbereich aus?
Also ich meine:
1. Das totale Differenzial einer Funktion f(x) ist gleich der Ableitung.
- Die Ableitung in einem Punkt a von f(x) ist gleich der Steigung der Tangente im Punkt a.
- Die Ableitung der Funktion f(x) auf dem gesamten Defintionsbereich ist wiede eine Funktion. Z.B. f(x) = [mm] x^2 [/mm] somit ist f'(x) = 2*x also eine Gerade, welche die Steigung von f(x) in jedem Punkt aus dem Definitionsbereich representiert.
ODER?
2. Das totale Differenzial einer Funktion f(x,y,z,....) ist:
- In einem Punkt eine affin lineare Abbildung???
- Auf dem gesamten Definitionsbereich auch wieder eine Funktion, die aber um 1 erniedrigt wird, also eine Hyperebene ??????
Lieg ich so richtig??
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Mi 29.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> 2. Das totale Differenzial einer Funktion f(x,y,z,....)
> ist:
>
> - In einem Punkt eine affin lineare Abbildung???
Jein. Eiegntlich nicht: es ist eine lineare Abbildung. Wenn man sich das aber geometrisch vorstellen moechte, shiftet man die auf den Punkt herauf und erhaelt so eine affine lineare Abbildung - besser: eine linaere Approximation der Funktion an diesem Punkt. Genau wie im 1-dim: die Ableitung ist ein "Wert", aber geometrisch vorstellen tut man es sich als Tangente an den Graphen.
> - Auf dem gesamten Definitionsbereich auch wieder eine
> Funktion, die aber um 1 erniedrigt wird, also eine
> Hyperebene ??????
Nein, eine Abbildung aus dem Definitionsbereich in den Raum der linearen Abbildungen von entsprechenden Vektorrauemen. Also im 3/dim eine Abbildung [m]\|R^3\mapsto \mbox{Hom}(\|R^3,\|R)[/m]. Das ist im 1/dim uebrings genauso, denn da ist dies [m] \mbox{Hom}(\|R,\|R)[/m] - und dies ist Isomorph zu den reellen Zahlen (Jede linaere Abbildung ist hier durch Multiplikation mit einer rellen gegeben)!
> Lieg ich so richtig??
Fast. 
SEcki
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