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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - trennung der variabeln
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trennung der variabeln: differentialgleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mo 05.07.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
kann mir jemand erklären was heißt Lösen einer differentialgleichung durch Trennung der Variabeln?

da habe ich als Beispiel:

[mm] y'(x)=\bruch{exp(x)}{y} [/mm]
[mm] y(0)=\wurzel{2} [/mm]

Die schreibweisen sind mir total unbekannt!!
vielen dank im voraus

        
Bezug
trennung der variabeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Mo 05.07.2010
Autor: leduart

Hallo
du schreibst [mm] y'=\bruch{dy}{dx} [/mm] und damit
[mm] \bruch{dy}{dx}=e^x/y [/mm]
[mm] y*dy=e^x*dx [/mm]
beide Seiten integrieren. Integrationskonstanten auf einer sete zusammenfassen. die konstante bestimmen, indem man in die gefundene Losung den Anfangswert einsetzt.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
trennung der variabeln: integrieren
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Mo 05.07.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
danke :)

ich habe folgendes :

(exp (x) dx)' = exp(x)
und (y dy)'= 1

ist das richtig ? falls ja wie setze ich die werte ein?

Bezug
                        
Bezug
trennung der variabeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Mo 05.07.2010
Autor: schachuzipus

Hallo safsaf,

> danke :)
>  
> ich habe folgendes :
>
> (exp (x) dx)' = exp(x)
>  und (y dy)'= 1 [haee]
>  ist das richtig ? falls ja wie setze ich die werte ein?


Du solltest doch beide Seiten integrieren

$y \ dy \ = [mm] \exp(x) [/mm] \ dx \ \ [mm] \mid\int$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \int{y \ dy} [/mm] \ = [mm] \int{exp(x) \ dx}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \frac{1}{2}y^2 [/mm] \ = exp(x) \ + \ C$

Nun nach $y$ auflösen und mit der Anfangsbedingung [mm] $y(0)=\sqrt{2}$ [/mm] das $C$ berechnen.

Wie lautet dann die Lösung?

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
trennung der variabeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Mo 05.07.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
ich komm mit der frage leider nicht klar

ich habe verstanden wie du integriert hast aber um c zu berechnen und y aufzulösen habe ich null ahnung


Bezug
                                        
Bezug
trennung der variabeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Mo 05.07.2010
Autor: fencheltee


> ich komm mit der frage leider nicht klar
>  ich habe verstanden wie du integriert hast aber um c zu
> berechnen und y aufzulösen habe ich null ahnung
>  

$ [mm] \Rightarrow \frac{1}{2}y^2 [/mm] \ = exp(x) \ + \ C $
war die letzte formel, mit 2 multiplizieren und dann die wurzel ziehen sollte ja nicht der haken sein.
am ende hast du dann y=...
und nun musst du mit $ [mm] y(0)=\sqrt{2}= [/mm] $ lösung von oben mit x=0
dein c genau berechnen

gruß tee

Bezug
                                                
Bezug
trennung der variabeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 Mo 05.07.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
dann habe ich [mm] y=\wurzel{e^{x}} [/mm] + [mm] \wurzel{2c} [/mm]


ist c= 0?

Bezug
                                                        
Bezug
trennung der variabeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 Mo 05.07.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
[mm] y=\wurzel{2e^x} [/mm] + [mm] \wurzel{2c} [/mm]

und c=0??

ist es soweit richtig?

Bezug
                                                                
Bezug
trennung der variabeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Mo 05.07.2010
Autor: MathePower

Hallo safsaf,

> [mm]y=\wurzel{2e^x}[/mm] + [mm]\wurzel{2c}[/mm]


Hier hast Du falsch umgeformt.

Korrekt muss das lauten:

[mm]y=\wurzel{2e^x+\red{2c}}[/mm]


>  und c=0??
>  
> ist es soweit richtig?


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                        
Bezug
trennung der variabeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Mo 05.07.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
[mm] \wurzel{2e^x +2c} [/mm]

[mm] e^x=1 [/mm] dann habe ich wieder c=0?

Bezug
                                                                                
Bezug
trennung der variabeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Mo 05.07.2010
Autor: MathePower

Hallo safsaf,

> [mm]\wurzel{2e^x +2c}[/mm]
>  [mm]e^x=1[/mm] dann habe ich wieder c=0?


Das ist richtig.


Gruss
MathePower

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Bezug
trennung der variabeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Mo 05.07.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
jetzt wie schreibt man die lösung?

[mm] y(x)=\wurzel{2e^x} [/mm] ?

Bezug
                                                                                                
Bezug
trennung der variabeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Mo 05.07.2010
Autor: Steffi21

Hallo, korrekt, du kannst doch für dich immer die Probe machen

[mm] y'=\bruch{e^{x}}{y} [/mm]

[mm] y=\wurzel{2e^{x}} [/mm] und [mm] y'=\bruch{2e^{x}}{2\wurzel{2e^{x}}}=\bruch{e^{x}}{\wurzel{2e^{x}}}=\bruch{e^{x}}{y} [/mm]

Steffi




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Bezug
trennung der variabeln: b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mo 05.07.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
ich hab nun folgendes :
[mm] y'=\bruch{y}{x} [/mm] und y(1)=2

wenn ich die beiden seiten integrieren will komme ich nicht auf gleichen variabeln auf gleich seite!!

y'= dy/dx=x/y wie kann ich das integrieren!

Bezug
                
Bezug
trennung der variabeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 Mo 05.07.2010
Autor: fencheltee


> ich hab nun folgendes :
> [mm]y'=\bruch{y}{x}[/mm] und y(1)=2
>  wenn ich die beiden seiten integrieren will komme ich
> nicht auf gleichen variabeln auf gleich seite!!
>
> y'= dy/dx=x/y wie kann ich das integrieren!

alles mit x auf die rechte seite und alles mit y auf die linke! dann auf beiden seiten integrieren

gruß tee


Bezug
                        
Bezug
trennung der variabeln: b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Mo 05.07.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
war nochmal falsch zitiert,

ich hab nun y'=dy/dx=y/x so kann ich die nicht auf die gleiche seite ziehen oder ?

Bezug
                                
Bezug
trennung der variabeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Mo 05.07.2010
Autor: Steffi21

Hallo, multipliziere mit dx, dividiere durch y, Steffi

Bezug
                                        
Bezug
trennung der variabeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Mo 05.07.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
so erhalte ich y/dy = x/dx richtig?

dann habe ich wieder [mm] 1/2x^2= 1/2y^2 [/mm]

es ist aber verwirrend?
es ist nicht richtig oder?

Bezug
                                                
Bezug
trennung der variabeln: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Mo 05.07.2010
Autor: Loddar

Hallo safsaf!


> so erhalte ich y/dy = x/dx richtig?

[notok] Nein, Du solltest erhalten:
[mm] $$\bruch{dy}{y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{dx}{x}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                                                        
Bezug
trennung der variabeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Mo 05.07.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
     $ [mm] \bruch{dy}{y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{dx}{x} [/mm] $ das habe ich am anfang aber wie kann ich das integrieren?

es ist anders als beim ersten fall !!

Bezug
                                                                
Bezug
trennung der variabeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Mo 05.07.2010
Autor: wieschoo


>     [mm]\bruch{dy}{y} \ = \ \bruch{dx}{x}[/mm] das habe ich am
> anfang aber wie kann ich das integrieren?

[mm] $\int \bruch{1}{y}dy=\int \bruch{1}{x}dx$ [/mm]

>  es ist anders als beim ersten fall !!

Vielleicht fällt es dir einfacher, wenn du alles explizit aufschreibst. Eine DGL mit getrennten Variablen sieht so aus:
                            $y'=f(x)g(y)$ mit [mm] $y(x_0)=y_0$ [/mm]

Jetzt bildest du die folgenden Stammfunktionen:
                            [mm] $F(x)=\int_{x_0}^x{f(t)dt}$ [/mm] und [mm] $G(y)=\int_{y_0}^y{\frac{1}{g(t)}dt}$ [/mm]

Dann setzt du [mm] $G(\varphi [/mm] (x))=F(x)$

Am Beispiel konkret:
$f(x)=x,g(y)=y$
[mm] $F(x)=\ln(\frac{x}{x_0}) [/mm]
[mm] $G(y)=\ln(\frac{y}{y_0}) [/mm]
[mm] $G(\varphi(x))=F(x)\gdw \ln(\frac{\varphi(x)}{y_0})=\ln(\frac{x}{x_0})\gdw \varphi(x)=\ldots$ [/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
trennung der variabeln: g(x)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:16 Di 06.07.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
wie integriere ich weiter?

[mm] \integral \bruch{1}{y} [/mm] dy = [mm] \bruch{-\bruch{1}{2}y^{2}}{y^{2}} [/mm]
                          = - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

ist es soweit richtig? habe die quotientenregel verwendet?

Bezug
                                                                                
Bezug
trennung der variabeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:21 Di 06.07.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> wie integriere ich weiter?
>  [mm]\integral \bruch{1}{y}[/mm] dy =
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}y^{2}}{y^{2}}[/mm]
>                            = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> ist es soweit richtig? habe die quotientenregel verwendet?

Ich kenne keine Quotientenregel für das Integrieren ...

Es ist [mm] $\int{\frac{1}{y} \ dy}=\ln(|y|)+C$ [/mm]

Das solltest du aus der Schule aber wissen ...

Mein lieber Herr Gesangsverein ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                        
Bezug
trennung der variabeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Di 06.07.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
wenn ich aber diese Gleichung habe ?
[mm] y'=\bruch{y}{x} [/mm] und wenn ich es integriere komme ich dann auf : ln(y)+c=ln(x)+d

gegeben ist y(0)=2 wie kann ich das in meiner gleichung einsetzen?

Bezug
                                                                                                
Bezug
trennung der variabeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Di 06.07.2010
Autor: MathePower

Hallo safsaf,

> wenn ich aber diese Gleichung habe ?
> [mm]y'=\bruch{y}{x}[/mm] und wenn ich es integriere komme ich dann
> auf : ln(y)+c=ln(x)+d
>  gegeben ist y(0)=2 wie kann ich das in meiner gleichung
> einsetzen?


Bestimme zunächst die Lösung [mm]y \left( x \right)= \ ...[/mm]

Setze dann in die Lösung die Anfangsbedingung [mm]y\left(0\right)=2[/mm]
ein, und bestimme hieraus die Konstante.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                        
Bezug
trennung der variabeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Di 06.07.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
y(x)=e^ln(x) + C

mit C=c1+c2

aber wie kann ich mein y(0)=2 einsetzen? ich kann doch nicht x=0 einsetzen? ln(0) -E-

Bezug
                                                                                                                
Bezug
trennung der variabeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Di 06.07.2010
Autor: MathePower

Hallo safsaf,

> y(x)=e^ln(x) + C

Das muss hier so lauten:

[mm]y(x)=e^{ln(x) + C}[/mm]


>  mit C=c1+c2
>  
> aber wie kann ich mein y(0)=2 einsetzen? ich kann doch
> nicht x=0 einsetzen? ln(0) -E-


Erinnere Dich, daß der natürliche Logarithmus "ln"
die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion "e" ist.

Was ergibt sich dann?


Gruss
MathePower



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