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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Mi 16.02.2011 | | Autor: | frank85 |
| Aufgabe | Integrieren Sie:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^2}}dx} [/mm] |
Ich habe die Lösung der Aufgabe vorliegen, nur leider weiß ich nicht wie man im einzelnen den trick macht:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^2}}dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{x^2+1-1}{\wurzel{1-x^2}}dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}}dx-\integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^2}}dx
[/mm]
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
tausen dank,ehrlich
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Frank,
willkommen im Matheraum 
> Integrieren Sie:
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^2}}dx}[/mm]
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> Ich habe die Lösung der Aufgabe vorliegen, nur leider
> weiß ich nicht wie man im einzelnen den trick macht:
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^2}}dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{x^2+1-1}{\wurzel{1-x^2}}dx}[/mm]
Bisher ist noch nicht viel passiert, nur im Zähler eine Null addiert.
Damit der nächste Schritt deutlicher wird, aber nun noch einen Zwischenschritt:
[mm] \ldots=$\integral_{-1}^{1}\left({\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}-\bruch{1-x^2}{\wurzel{1-x^2}\right)}dx}$
[/mm]
Der Bruch wurde auseinander gezogen. Der zweite Bruch kürzt sich dann zu [mm] $\wurzel{1-x^2}$. [/mm] Das geht nur, weil die kritischen Stellen -1 und 1 die Integrationsgrenzen sind.
> = [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}}dx-\integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^2}}dx[/mm]
> ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
> tausen dank,ehrlich
Hoffe, das hilft.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Mi 16.02.2011 | | Autor: | frank85 |
Danke erstmal kamaleonti für die schnelle Antwort!
Von [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{x^2+1-1}{\wurzel{1-x^2}}dx} [/mm] zu [mm] \integral_{-1}^{1}\left({\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}-\bruch{1-x^2}{\wurzel{1-x^2}\right)}dx} [/mm] verstehe ich nicht. Meiner Meinung nach macht man doch folgende Trennung des Bruchs: [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{x^2+1-1}{\wurzel{1-x^2}}dx} =\integral_{-1}^{1}\left({\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}-{\bruch{1+x^2}{\wurzel{1-x^2}}\right)dx}}
[/mm]
und [mm] \bruch{1+x^2}{\wurzel{1-x^2}} \not= \bruch{1-x^2}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] ?!!
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Hallo,
> Danke erstmal kamaleonti für die schnelle Antwort!
Bitte 
> Von [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{x^2+1-1}{\wurzel{1-x^2}}dx}[/mm] zu [mm]\integral_{-1}^{1}\left({\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}-\bruch{1-x^2}{\wurzel{1-x^2}\right)}dx}[/mm]
> verstehe ich nicht. Meiner Meinung nach macht man doch folgende Trennung des Bruchs:
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{x^2+1-1}{\wurzel{1-x^2}}dx} =\integral_{-1}^{1}\left({\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}-{\bruch{1+x^2}{\wurzel{1-x^2}}\right)dx}}[/mm]
>
> und [mm]\bruch{1+x^2}{\wurzel{1-x^2}} \not= \bruch{1-x^2}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
> ?!!
Nein, schauen wir uns mal nur den Zähler an (um den geht es hier im Wesentlichen):
Es gilt
[mm] $x^2+1-1=1+(x^2-1)=1-(-x^2+1)=1-(1-x^2)
[/mm]
nach dem zweiten "=" wurde der Inhalt der Klammer mit -1 multipliziert, dafür wird sie nun subtrahiert.
Siehst du es jetzt?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Mi 16.02.2011 | | Autor: | frank85 |
> Siehst du es jetzt?
Jap,jetzt hab ichs...endlich.
Finde es unheimlich dreist die Aufgabenlösung so sehr abzukürzen, dass man gar nicht mehr nachvollziehen kann wie dieser Trick läuft.
Danke dir kamaleonti, bist super :)
Frank
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