trigonalisierbar < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Di 24.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Ein Endomorphismus eines endlich-dim. K-VR heißt trigonalisierbar, wenn er durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt werden kann.
1. Zeige, dass im Fall einer algebraisch abgeschlossenen Körpers K jeder Endomorphismus f eines endlich-dim. K-VR. V trigonalisierbar ist.
2. Zeige, dass ein Endomorphismus f einer n-dim. K-VR. V genau dann trigonalisierbar ist, wenn f-invariante Unterräume [mm] U_{1} \subset U_{2} \subset [/mm] ....... [mm] \subset U_{n} [/mm] von V existieren mit [mm] dimU_{j} [/mm] = j für alle [mm] j\varepsilon{1,2,....,n}
[/mm]
So bei eins bin ich soweit dass ich denke ich nehme mir einen Eigenvektor und erzänze ihn zu einer Basis von V. Dann schaue ich mir die darstellende Matrix dazu an und führe eine Induktionsbeweis durch. Oder nicht?
Leider weiß ich nur nicht was ich mit 2. machen soll!
Hoffentlich kann mir jemand helfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Di 24.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Allerdings habe ich bei 1. in dem Induktionsbeweis Schwierigkeiten! :(
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> Ein Endomorphismus eines endlich-dim. K-VR heißt
> trigonalisierbar, wenn er durch eine obere Dreiecksmatrix
> dargestellt werden kann.
>
> 1. Zeige, dass im Fall einer algebraisch abgeschlossenen
> Körpers K jeder Endomorphismus f eines endlich-dim. K-VR. V
> trigonalisierbar ist.
>
> 2. Zeige, dass ein Endomorphismus f einer n-dim. K-VR. V
> genau dann trigonalisierbar ist, wenn f-invariante
> Unterräume [mm]U_{1} \subset U_{2} \subset[/mm] ....... [mm]\subset U_{n}[/mm]
> von V existieren mit [mm]dimU_{j}[/mm] = j für alle
> [mm]j\varepsilon{1,2,....,n}[/mm]
Hallo,
zu 1.:
Natürlich kommt es darauf an, was Ihr bereits in der Vorlesung hattet.
Hattet Ihr "f trigonalisierbar <==> das charakteristische Polynom zerfällt"?
Nun ist es ja so, daß in algebraisch abgeschlossenen Körpern jedes Polynom zerfällt.
zu 2.:
"<=="
die [mm] U_i [/mm] haben die Dimension i.
Also gibt es einen Vektor [mm] b_1 [/mm] mit [mm] U_1=
[/mm]
Die Dimension von [mm] U_2 [/mm] ist 2, und es ist [mm] U_1\subset U_2, [/mm] also gibt es [mm] b_2 [/mm] mit [mm] U_2= [/mm] usw.
Nun berechnest Du [mm] f(b_i), [/mm] wobei Du die f-Invarianz der [mm] U_i [/mm] ausnutzt.
"==>"
das ist einfach.
f ist rigonalisierbar, also gibt es eine Basis [mm] (b_1,...b_n), [/mm] so daß die zugehörige Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist.
Dann ist ja [mm] f(b_1) \in
[/mm]
[mm] f(b_2)\in [/mm]
usw.
Es ist naheliegend, was Du nun als [mm] U_i [/mm] nimmst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Das ist ja genau mein Problem, wir hatten noch keine Definition von "trigonalisierbar". DAher ist das auch so schwer!
Also wie muss ich das jetzt angehen?
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> Das ist ja genau mein Problem, wir hatten noch keine
> Definition von "trigonalisierbar". DAher ist das auch so
> schwer!
>
> Also wie muss ich das jetzt angehen?
Hallo,
da habe ich inzwischen etwa zu geschrieben. Guck da
Gruß v. Angela
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