triviale Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 So 24.06.2012 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Was bedeutet bei einer DGL die Bezeichnung triviale Lösung? |
Hallo,
zunächst bin ich davon ausgegangen, dass damit einfach immer die Funktion gemeint ist, die konstant 0 ist.
Z.B. hier http://de.wikipedia.org/wiki/Vergleichssatz werden unter Beispiel aber Lösungen, die konstant 2 und -2 sind als triviale Lösungen bezeichnet, also denke ich mir, dass man alle konstanten Lösungen als triviale Lösungen bezeichnet.
Wichtig ist das z.B. für die Anwendung des Sturmschen Vergleichssatzes, der z.B. hier aus S. 3 steht: http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~kanzow/ode/ODE_Kap6.pdf.
Hier muss ich nichttriviale Lösungen betrachten und da käme es dann schon darauf an, ob dies nur bedeutet, dass die Lösungen nicht konstant Null sind, oder ob sie nicht konstant sind. Ich bin leicht verwirrt.
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Hi,
Triviale Lösungen findet man ja überall: Bei DGL, GLS, lin. Unabhängigkeiten,...
Im Prinzip sind es immer Lösungen, die schlicht und ergreifend offensichtlich sind. So, wie ich es kenne, sind es oft Nulllösungen.
Bei dem Vergleichssatz von Sturm ist es ja auch offensichtlich: Eine Lösung ist die Nulllösungen, also triviale Lösungen, denn u=0 und v=0 lösen die DGL.
Diese Lösungen sind also von dem Satz ausgenommen.
Vergleich zur lin. Unabhängigkeit:
Man habe die Vektoren u=(2,3) und v=(2,4)
Die Vektoren sind lin. abhängig, wenn [mm] \lambda_1*u+\lambda_2*v=0 [/mm] nichttriviale Lösungen besitzt.
Warum dieser Ausschluss von nichttrivialen Lösungen? Wenn man diese zulässt, dann wären jede Vektoren lin abhängig. Obige Vektoren sind ja aber keineswegs lin. abhängig.
Wegen der -2, und 2 bei Wikipedia:
Nun betrachte doch einmal die DGL.
[mm] y'=\frac{y^6-64}{1+x^2y^2}
[/mm]
Folgendes wurde sich überlegt:
Wenn man sich eine Funktion y schnappt, die als Ableitung null wird, dann kann man doch wunderbar mit dem Nenner multiplizieren. Dann hätte man:
[mm] 0=y^6-64
[/mm]
Ab hier ist es offensichtlich, wie man auf -2 und +2 kommt. Dies sind also ziemlich triviale Lösungen ;)
Gruß und schönen Sonntag!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 So 24.06.2012 | | Autor: | Unk |
Ok. Betrachte ich z.B. y''=0, dann wären die trivialen Lösungen doch alle Konstante. Angenommen ich habe auch die DGL y''-y=0 und will durch Vergleich mit der vorangegangenen DGL argumentieren, dass nichttriviale Lösungen letzterer DGL nur maximal eine Nullstelle haben (ok, ich könnte sie direkt lösen und alles wäre klar, aber es kommt mir hier auf ein bestimmtes Argument an). Habe also eine nichttriviale Lsg. von y''-y=0 mindestens zwei Nullstellen a und b. Nach Sturm muss dann zwischen diesen beiden Nullstellen eine Nullstelle einer bel. nichttrivialen Lösung von y''=0 liegen. Wenn ich jetzt als triviale Lsg. nur die Nullösung zulasse, könnte ich z.B. y=1 als nichttriviale Lsg. deklarieren und hätte meinen Widerspruch.
Wären alle konstanten Lsg.en triviale Lsg.en, so müsste ich sagen, dass die nichttrivialen Lösungen von der Form y=mx+c mit m,c [mm] \neq [/mm] 0 sind und könnte m=-1 und c nicht zwischen a und b wählen und hätte meinen Widerspruch.
Welche Argumentation wäre denn nun richtiger?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Guten Morgen,
leider verstehe ich nicht wirklich, was du mit deiner Aussage meinst. Wenn sich das auf den Sturmschen Vergleichssatz noch bezieht, dann muss ich leider passen. Mir ist der vollkommen neu.
Ich hoffe jemand anderes kann dir hier noch helfen!
(Vielleicht schaue ich auch heute Abend noch einmal rein - je nachdem ob jemand geantwortet hat.)
Liebe Grüße
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Hallo,
deine Frage ist ja eine schöne Gemengelage. 
Zum Begriff Triviallösung: Als Trivial bzw. als Triviallösung bezeichnet man in der Mathematik stets etwas, was unmittelbar einsichtig ist, in dem Sinn, dass es eh klar ist. Siehe dazu die Deutsche ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Zu deinem angeführten Beispiel y''-y=0 wäre anzumerken, dass y=1 gar nicht Lösung ist...
In dem Wikipedia-Artikel über den Vergleichssatz werden die beiden Lösungen y=2 und y=-2 einfach aus dem Grund als triviale Lösungen bezeichnet, weil sie konstant sind und gleichzteitig dazu führen, dass die rechte Seite der DGL gleich Null wird. Also müssen sie Lösungen sein, ohne das man irgendetwas nachrechnen muss.
Deine letzte Frage
> Wären alle konstanten Lsg.en triviale Lsg.en, so müsste
> ich sagen, dass die nichttrivialen Lösungen von der Form
> y=mx+c mit m,c [mm]\neq[/mm] 0 sind und könnte m=-1 und c nicht
> zwischen a und b wählen und hätte meinen Widerspruch.
> Welche Argumentation wäre denn nun richtiger?
verstehe ich leider überhaupt nicht.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:55 Mo 25.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok. Betrachte ich z.B. y''=0, dann wären die trivialen
> Lösungen doch alle Konstante.
Nein. Sondern nur y=0.
> Angenommen ich habe auch die
> DGL y''-y=0 und will durch Vergleich mit der
> vorangegangenen DGL argumentieren, dass nichttriviale
> Lösungen letzterer DGL nur maximal eine Nullstelle haben
> (ok, ich könnte sie direkt lösen und alles wäre klar,
> aber es kommt mir hier auf ein bestimmtes Argument an).
> Habe also eine nichttriviale Lsg. von y''-y=0 mindestens
> zwei Nullstellen a und b. Nach Sturm muss dann zwischen
> diesen beiden Nullstellen eine Nullstelle einer bel.
> nichttrivialen Lösung von y''=0 liegen. Wenn ich jetzt als
> triviale Lsg. nur die Nullösung zulasse, könnte ich z.B.
> y=1 als nichttriviale Lsg. deklarieren und hätte meinen
> Widerspruch.
> Wären alle konstanten Lsg.en triviale Lsg.en, so müsste
> ich sagen, dass die nichttrivialen Lösungen von der Form
> y=mx+c mit m,c [mm]\neq[/mm] 0 sind und könnte m=-1 und c nicht
> zwischen a und b wählen und hätte meinen Widerspruch.
> Welche Argumentation wäre denn nun richtiger?
Du hast also die Dglen
(1) y''-y=0
und
(2)y''=0.
Sei y eine nichttriviale Lösung von (1). Nimm an, es gäbe a und b mit a<b und y(a)=y(b)=0.
Der Sturmsche Vergleichssatz sagt nun: es gibt eine nichttriviale Lösung z von (2) und ein [mm] x_0 \in [/mm] (a,b] mit:
z(a)=0 und [mm] z(x_0)=0.
[/mm]
Kann das sein ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Unk |
> > Ok. Betrachte ich z.B. y''=0, dann wären die trivialen
> > Lösungen doch alle Konstante.
>
> Nein. Sondern nur y=0.
>
>
>
> > Angenommen ich habe auch die
> > DGL y''-y=0 und will durch Vergleich mit der
> > vorangegangenen DGL argumentieren, dass nichttriviale
> > Lösungen letzterer DGL nur maximal eine Nullstelle haben
> > (ok, ich könnte sie direkt lösen und alles wäre klar,
> > aber es kommt mir hier auf ein bestimmtes Argument an).
> > Habe also eine nichttriviale Lsg. von y''-y=0 mindestens
> > zwei Nullstellen a und b. Nach Sturm muss dann zwischen
> > diesen beiden Nullstellen eine Nullstelle einer bel.
> > nichttrivialen Lösung von y''=0 liegen. Wenn ich jetzt als
> > triviale Lsg. nur die Nullösung zulasse, könnte ich z.B.
> > y=1 als nichttriviale Lsg. deklarieren und hätte meinen
> > Widerspruch.
> > Wären alle konstanten Lsg.en triviale Lsg.en, so
> müsste
> > ich sagen, dass die nichttrivialen Lösungen von der Form
> > y=mx+c mit m,c [mm]\neq[/mm] 0 sind und könnte m=-1 und c nicht
> > zwischen a und b wählen und hätte meinen Widerspruch.
> > Welche Argumentation wäre denn nun richtiger?
>
>
> Du hast also die Dglen
>
> (1) y''-y=0
>
> und
>
> (2)y''=0.
>
> Sei y eine nichttriviale Lösung von (1). Nimm an, es gäbe
> a und b mit a<b und y(a)=y(b)=0.
>
> Der Sturmsche Vergleichssatz sagt nun: es gibt eine
> nichttriviale Lösung z von (2) und ein [mm]x_0 \in[/mm] (a,b] mit:
>
> z(a)=0 und [mm]z(x_0)=0.[/mm]
>
> Kann das sein ?
Das kann nicht sein, weil die Lösungen ja Geraden sind. Aber wo steht in dem Satz denn, dass dann auch z(a)=0 gilt? [mm] z(x_0)=0 [/mm] ist klar.
Also die Argumentation, dass ich dann irgendeine Konstante Lsg. für z wähle (ungleich Null) ist dann aber auch falsch?
>
> FRED
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mo 25.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Ok. Betrachte ich z.B. y''=0, dann wären die trivialen
> > > Lösungen doch alle Konstante.
> >
> > Nein. Sondern nur y=0.
> >
> >
> >
> > > Angenommen ich habe auch die
> > > DGL y''-y=0 und will durch Vergleich mit der
> > > vorangegangenen DGL argumentieren, dass nichttriviale
> > > Lösungen letzterer DGL nur maximal eine Nullstelle haben
> > > (ok, ich könnte sie direkt lösen und alles wäre klar,
> > > aber es kommt mir hier auf ein bestimmtes Argument an).
> > > Habe also eine nichttriviale Lsg. von y''-y=0 mindestens
> > > zwei Nullstellen a und b. Nach Sturm muss dann zwischen
> > > diesen beiden Nullstellen eine Nullstelle einer bel.
> > > nichttrivialen Lösung von y''=0 liegen. Wenn ich jetzt als
> > > triviale Lsg. nur die Nullösung zulasse, könnte ich z.B.
> > > y=1 als nichttriviale Lsg. deklarieren und hätte meinen
> > > Widerspruch.
> > > Wären alle konstanten Lsg.en triviale Lsg.en, so
> > müsste
> > > ich sagen, dass die nichttrivialen Lösungen von der Form
> > > y=mx+c mit m,c [mm]\neq[/mm] 0 sind und könnte m=-1 und c nicht
> > > zwischen a und b wählen und hätte meinen Widerspruch.
> > > Welche Argumentation wäre denn nun richtiger?
> >
> >
> > Du hast also die Dglen
> >
> > (1) y''-y=0
> >
> > und
> >
> > (2)y''=0.
> >
> > Sei y eine nichttriviale Lösung von (1). Nimm an, es gäbe
> > a und b mit a<b und y(a)=y(b)=0.
> >
> > Der Sturmsche Vergleichssatz sagt nun: es gibt eine
> > nichttriviale Lösung z von (2) und ein [mm]x_0 \in[/mm] (a,b] mit:
> >
> > z(a)=0 und [mm]z(x_0)=0.[/mm]
> >
> > Kann das sein ?
>
> Das kann nicht sein, weil die Lösungen ja Geraden sind.
> Aber wo steht in dem Satz denn, dass dann auch z(a)=0 gilt?
Hier:
http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/mana.19881390103/pdf
FRED
> [mm]z(x_0)=0[/mm] ist klar.
>
> Also die Argumentation, dass ich dann irgendeine Konstante
> Lsg. für z wähle (ungleich Null) ist dann aber auch
> falsch?
>
> >
> > FRED
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Unk |
> > > > Ok. Betrachte ich z.B. y''=0, dann wären die trivialen
> > > > Lösungen doch alle Konstante.
> > >
> > > Nein. Sondern nur y=0.
> > >
> > >
> > >
> > > > Angenommen ich habe auch die
> > > > DGL y''-y=0 und will durch Vergleich mit der
> > > > vorangegangenen DGL argumentieren, dass nichttriviale
> > > > Lösungen letzterer DGL nur maximal eine Nullstelle haben
> > > > (ok, ich könnte sie direkt lösen und alles wäre klar,
> > > > aber es kommt mir hier auf ein bestimmtes Argument an).
> > > > Habe also eine nichttriviale Lsg. von y''-y=0 mindestens
> > > > zwei Nullstellen a und b. Nach Sturm muss dann zwischen
> > > > diesen beiden Nullstellen eine Nullstelle einer bel.
> > > > nichttrivialen Lösung von y''=0 liegen. Wenn ich jetzt als
> > > > triviale Lsg. nur die Nullösung zulasse, könnte ich z.B.
> > > > y=1 als nichttriviale Lsg. deklarieren und hätte meinen
> > > > Widerspruch.
> > > > Wären alle konstanten Lsg.en triviale Lsg.en, so
> > > müsste
> > > > ich sagen, dass die nichttrivialen Lösungen von der Form
> > > > y=mx+c mit m,c [mm]\neq[/mm] 0 sind und könnte m=-1 und c nicht
> > > > zwischen a und b wählen und hätte meinen Widerspruch.
> > > > Welche Argumentation wäre denn nun richtiger?
> > >
> > >
> > > Du hast also die Dglen
> > >
> > > (1) y''-y=0
> > >
> > > und
> > >
> > > (2)y''=0.
> > >
> > > Sei y eine nichttriviale Lösung von (1). Nimm an, es gäbe
> > > a und b mit a<b und y(a)=y(b)=0.
> > >
> > > Der Sturmsche Vergleichssatz sagt nun: es gibt eine
> > > nichttriviale Lösung z von (2) und ein [mm]x_0 \in[/mm] (a,b] mit:
> > >
> > > z(a)=0 und [mm]z(x_0)=0.[/mm]
> > >
> > > Kann das sein ?
> >
> > Das kann nicht sein, weil die Lösungen ja Geraden sind.
> > Aber wo steht in dem Satz denn, dass dann auch z(a)=0 gilt?
>
> Hier:
>
> http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/mana.19881390103/pdf
>
> FRED
> > [mm]z(x_0)=0[/mm] ist klar.
> >
Also in dieser Version http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~kanzow/ode/ODE_Kap6.pdf (Seite 3) des Satzes, die mir nur bekannt ist, wird das garnicht deutlich, dass dann z(a)=0 sein muss.
Deshalb bleibt bei mir immer noch die Frage, ob ich dann als NICHTtriviale Lösung z.B. z=1 wählen darf, um einen Widerspruch zu erhalten.
Das Wort "triviale" finde ich in diesem Kontext nämlich wirklich interpretationsbedürftig und das ist nicht gut.
Ich weiß auch nicht, ob der Beweis dieser Version schief gehen würde, wenn man eine Konstante Lsg. einsetzt.
Mit anderen Worten: Ich bin immer noch verwirrt.
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> > > > > Ok. Betrachte ich z.B. y''=0, dann wären die trivialen
> > > > > Lösungen doch alle Konstante.
> > > >
> > > > Nein. Sondern nur y=0.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > > Angenommen ich habe auch die
> > > > > DGL y''-y=0 und will durch Vergleich mit der
> > > > > vorangegangenen DGL argumentieren, dass nichttriviale
> > > > > Lösungen letzterer DGL nur maximal eine Nullstelle haben
> > > > > (ok, ich könnte sie direkt lösen und alles wäre klar,
> > > > > aber es kommt mir hier auf ein bestimmtes Argument an).
> > > > > Habe also eine nichttriviale Lsg. von y''-y=0 mindestens
> > > > > zwei Nullstellen a und b. Nach Sturm muss dann zwischen
> > > > > diesen beiden Nullstellen eine Nullstelle einer bel.
> > > > > nichttrivialen Lösung von y''=0 liegen. Wenn ich jetzt als
> > > > > triviale Lsg. nur die Nullösung zulasse, könnte ich z.B.
> > > > > y=1 als nichttriviale Lsg. deklarieren und hätte meinen
> > > > > Widerspruch.
> > > > > Wären alle konstanten Lsg.en triviale Lsg.en,
> so
> > > > müsste
> > > > > ich sagen, dass die nichttrivialen Lösungen von der Form
> > > > > y=mx+c mit m,c [mm]\neq[/mm] 0 sind und könnte m=-1 und c nicht
> > > > > zwischen a und b wählen und hätte meinen Widerspruch.
> > > > > Welche Argumentation wäre denn nun richtiger?
> > > >
> > > >
> > > > Du hast also die Dglen
> > > >
> > > > (1) y''-y=0
> > > >
> > > > und
> > > >
> > > > (2)y''=0.
> > > >
> > > > Sei y eine nichttriviale Lösung von (1). Nimm an, es gäbe
> > > > a und b mit a<b und y(a)=y(b)=0.
> > > >
> > > > Der Sturmsche Vergleichssatz sagt nun: es gibt eine
> > > > nichttriviale Lösung z von (2) und ein [mm]x_0 \in[/mm] (a,b] mit:
> > > >
> > > > z(a)=0 und [mm]z(x_0)=0.[/mm]
> > > >
> > > > Kann das sein ?
> > >
> > > Das kann nicht sein, weil die Lösungen ja Geraden sind.
> > > Aber wo steht in dem Satz denn, dass dann auch z(a)=0 gilt?
> >
> > Hier:
> >
> >
> http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/mana.19881390103/pdf
> >
> > FRED
> > > [mm]z(x_0)=0[/mm] ist klar.
> > >
>
> Also in dieser Version
> http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~kanzow/ode/ODE_Kap6.pdf
> (Seite 3) des Satzes, die mir nur bekannt ist, wird das
> garnicht deutlich, dass dann z(a)=0 sein muss.
>
> Deshalb bleibt bei mir immer noch die Frage, ob ich dann
> als NICHTtriviale Lösung z.B. z=1 wählen darf, um einen
> Widerspruch zu erhalten.
> Das Wort "triviale" finde ich in diesem Kontext nämlich
> wirklich interpretationsbedürftig und das ist nicht gut.
> Ich weiß auch nicht, ob der Beweis dieser Version schief
> gehen würde, wenn man eine Konstante Lsg. einsetzt.
> Mit anderen Worten: Ich bin immer noch verwirrt.
Ich würde das Ganze so sehen: Um den Satz in der Form anzuwenden, wie du es machen willst, brauchst du ja bereits Lösungen, die Nullstellen besitzen (denn wie sollten ansonsten zwischen zwei Nullstellen der einen Lösungen mindestens eine der anderen liegen, wenn die anderen überhaupt keine hat). In diesem Sinne müsste man dann "nichttriviale Lösungen" von y''=0 als nichtkonstante Lösungen übersetzen.
Vielleicht können die anderen sich ja mal dazu äußern!
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