triviale Relation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Di 24.06.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hallo,
ich habe die Relation [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=0 [/mm] und würde gerne wissen was es heißt, dass diese Relation trivial ist.
Am besten wäre natürlich eine allgemeine Definition.
Danke,
Matze.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Di 24.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Matze,
eine Relation zwischen 2 Mengen A und B ist stets eine Teilmenge von $A [mm] \times [/mm] B$.
Ist diese Teilmenge entweder leer oder gleich $A [mm] \times [/mm] B$, dann nennt man sie auch trivial.
Das bedeutet dann also, daß keine Elemente in relation stehen, bzw. daß jedes Element von A mit jedem aus B in Relation steht.
Was du mit der angegebenen Summe sagen willst, ist mir schleierhaft.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Di 24.06.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hi Will
> eine Relation zwischen 2 Mengen A und B ist stets eine
> Teilmenge von [mm]A \times B[/mm].
Ja schon, aber es gibt ja auch mehrstellige Relationen... (siehe Wikipedia)
> Ist diese Teilmenge entweder
> leer oder gleich [mm]A \times B[/mm], dann nennt man sie auch
> trivial.
> Das bedeutet dann also, daß keine Elemente in relation
> stehen, bzw. daß jedes Element von A mit jedem aus B in
> Relation steht.
Ah super, vielen Dank.
>
> Was du mit der angegebenen Summe sagen willst, ist mir
> schleierhaft.
Gut, vielleicht hätte ich das etwas ausführlicher aufschreiben sollen. Gemeint war [mm] \{(a_{1},...,a_{n},b_{1},...,b_{n}) \in \IR^{n}\times \IR^{n}| \summe_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=0\}. [/mm] Dies ist dann nach Deiner Definition wohl nicht trivial....
Kann es denn sein, dass eine Relation auch trivial genannt wird, wenn das einzige Element die Null (bzw. der Nullvektor) ist?
Also, dass dann z.B. die Relation [mm] \{(b_{1},...,b_{n}) \in \IR^{n}| (a_{1},...,a_{n})\in \IR^{n}, \text{so dass die } a_{i} \mbox{ linear unabhängig sind und } \summe_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=0\} [/mm] trivial wäre?
Vielen Dank nochmal und schöne Grüße,
Matze.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Fr 27.06.2008 | | Autor: | xenos |
Für mehrere Mengen gilt das gleiche Prinzip: "entweder alles oder nichts"
Für $A [mm] \times [/mm] B [mm] \times [/mm] C$ ist also die leere Relation trivial oder die Relation, die alle Elemente von A und alle Elemente von B und alle Elemente von C enthält (ich denke, dies erfordert, dass jede mögliche Rekombination von Elementen aus A, B und C in der Relation enthalten ist).
Für deine Relation kann ich mir sowohl triviale, als auch nicht triviale Lösungen vorstellen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:00 So 29.06.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hallo,
> Für mehrere Mengen gilt das gleiche Prinzip: "entweder
> alles oder nichts"
>
> Für [mm]A \times B \times C[/mm] ist also die leere Relation trivial
> oder die Relation, die alle Elemente von A und alle
> Elemente von B und alle Elemente von C enthält (ich denke,
> dies erfordert, dass jede mögliche Rekombination von
> Elementen aus A, B und C in der Relation enthalten ist).
>
Ah gut, danke.
> Für deine Relation kann ich mir sowohl triviale, als auch
> nicht triviale Lösungen vorstellen.
>
Ja kannst du das? Ich nicht so wirklich.
Kannst du mir vielleicht ein Beispiel für eine triviale Lösung meiner Relation zeigen?
Grüße Matze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Mi 02.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Kann es denn sein, dass eine Relation auch trivial genannt
> wird, wenn das einzige Element die Null (bzw. der
> Nullvektor) ist?
> Also, dass dann z.B. die Relation [mm]\{(b_{1},...,b_{n}) \in \IR^{n}| (a_{1},...,a_{n})\in \IR^{n}, \text{so dass die } a_{i} \mbox{ linear unabhängig sind und } \summe_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=0\}[/mm]
> trivial wäre?
Hallo,
wenn Du uns doch nicht so im Trüben stochern ließest....
Worum geht es denn? Inwelchem Zusammenhang taucht die "triviale" Relation auf?
Bist Du Dir sicher, daß die [mm] a_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] beide dem [mm] \IR [/mm] entstammen? oder ist es vielleicht so, daß die [mm] a_i [/mm] dem [mm] \IR [/mm] entstammen und die [mm] b_i [/mm] dem [mm] \IR^n [/mm] (oder umgekehrt?)
Dann könnte es zur linearen Unabhängigkeit passen, wenn man nämlich sagt
[mm] \vektor{a_1 \\ \vdots\\a_n}(\in \IR^n) \sim \vektor{b_1 \\ \vdots\\b_n}(\in (\IR^n)^n) [/mm] <==> [mm] \summe a_ib_i=0.
[/mm]
Wenn diese Relation trivial ist, sind die (festen) Vektoren [mm] b_1, ...b_n [/mm] linear unabhängig.
Ob's paßt, kannst nur Du wissen, denn Du hast den Text vorliegen - und gibst Informationen übers Drumherum nur spärlich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mo 30.06.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hallo Angela,
> Dann könnte es zur linearen Unabhängigkeit passen, wenn man
> nämlich sagt
>
> [mm]\vektor{a_1 \\ \vdots\\a_n}(\in \IR^n) \sim \vektor{b_1 \\ \vdots\\b_n}(\in (\IR^n)^n)[/mm]
> <==> [mm]\summe a_ib_i=0.[/mm]
>
> Wenn diese Relation trivial ist, sind die (festen) Vektoren
> [mm]b_1, ...b_n[/mm] linear unabhängig.
>
Ich verstehe noch nicht so ganz, warum die Relation dann trivial sein kann...
Enthält sie denn nicht zumindest den Nullvektor? Oder ist [mm] (a_{1},...,a_{n}) \in \IR^{n} \backslash \{(0,...,0)\}?
[/mm]
Danke und Grüße Matze
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> Hallo Angela,
>
> > Dann könnte es zur linearen Unabhängigkeit passen, wenn man
> > nämlich sagt
> >
> > [mm]\vektor{a_1 \\ \vdots\\a_n}(\in \IR^n) \sim \vektor{b_1 \\ \vdots\\b_n}(\in (\IR^n)^n)[/mm]
> > <==> [mm]\summe a_ib_i=0.[/mm]
> >
> > Wenn diese Relation trivial ist, sind die (festen) Vektoren
> > [mm]b_1, ...b_n[/mm] linear unabhängig.
> >
> Ich verstehe noch nicht so ganz, warum die Relation dann
> trivial sein kann...
> Enthält sie denn nicht zumindest den Nullvektor? Oder ist
> [mm](a_{1},...,a_{n}) \in \IR^{n} \backslash \{(0,...,0)\}?[/mm]
Hallo,
wenn es um lineare Unabhängigkeit geht, und die Relation die von mir beschrieben mit linear unabhängigen [mm] b_1, [/mm] ..., [mm] b_n\in \IR^n [/mm] ist, dann wird [mm] (a_{1},...,a_{n}) [/mm] =(0,...,0) der einzige Vektor sein, der zu [mm] (b_{1},...,b_{n})\in (\IR^n)^n [/mm] in Relation steht.
Diesen Sachverhalt als "triviale Relation" zu bezeichnen, könnte durchaus das Pendant zu dem sein, was man übelicherweise "... hat nur die triviale Lösung" nennt.
Welche Terminologie Deine Literatur benutzt, mußt letztendlich Du wissen.
Da Du bezüglich des Drumherums sehr schweigsam bist, kann man auch wenig sagen.
Hast Du denn inzwischen herausgefunden, welche Mengen die [mm] a_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] entstammen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Mo 30.06.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Bemühungen!
> Da Du bezüglich des Drumherums sehr schweigsam bist, kann
> man auch wenig sagen.
>
> Hast Du denn inzwischen herausgefunden, welche Mengen die
> [mm]a_i[/mm] und [mm]b_i[/mm] entstammen?
>
Während Du diese Antwort formuliert hast, habe ich mich bemüht den Sachverhalt in einer weiteren Frage zu beschreiben 
Vielleicht kannst Du damit ja was anfangen....
Vielen Dank nochmal und schöne Grüße Matze.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:05 Mo 30.06.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hallo Angela,
ich habe meine Frage mal in zwei Beiträge aufgespalten, da die andere nicht direkt hiermit was zu tun hat...
>
> wenn Du uns doch nicht so im Trüben stochern ließest....
>
> Worum geht es denn? Inwelchem Zusammenhang taucht die
> "triviale" Relation auf?
Ok ich versuche mal mein genaues Problem hier aufzuschreiben...
> Bist Du Dir sicher, daß die [mm]a_i[/mm] und [mm]b_i[/mm] beide dem [mm]\IR[/mm]
> entstammen? oder ist es vielleicht so, daß die [mm]a_i[/mm] dem [mm]\IR[/mm]
> entstammen und die [mm]b_i[/mm] dem [mm]\IR^n[/mm] (oder umgekehrt?)
Bei mir trift das beides nicht zu, aber da ich mich mit Relationen nicht so wirklich auskenne, dachte ich versuch ich es mal zunächst etwas einfacher, um besser verstehen zu können...
Also ich habe hier eine K-Algebra A und eine Menge X, die A als K-Vektorraum aufspannt. Die Elemente in X haben positiven Grad und sind v-rechtsabhängig (d.h. [mm] a_{i} \in [/mm] X , dann ex. [mm] b_{i} \in [/mm] A mit [mm] b_{i}=0 [/mm] für fast alle i , so dass [mm] v(\summe a_{i}b_{i})
Jetzt soll gezeigt werden, dass die Monome in X eine K-Vektorraumbasis von A bilden (also, dass sie linear unabhängig sind).
Der Beweis geht nun folgendermaßen:
Angenommen die Monome in X sind linear abhängig, dann sei [mm] \summe x_{I}\alpha_{I}=0 [/mm] (wobei [mm] x_{I}=x_{1}...x_{n} [/mm] ein Monom in X ist). Durch abtrennen des linken Faktors aus X in jedem [mm] x_{I} [/mm] können wir dies schreiben als:
[mm] \summe [/mm] x [mm] a_{x}+\alpha=0 (x\in [/mm] X, [mm] a_{x} \in [/mm] A, [mm] \alpha\in [/mm] K).
Durch die v-Unabhängigkeit von X ist jedes [mm] a_{x}=0 [/mm] und somit [mm] \alpha=0.
[/mm]
Induktion auf dem formalen Grad zeigt nun, dass die gegebene Relation trivial ist. Somit sind die Monome in X rechts-K- linear unabhängig.
Nun ja, das verstehe ich halt nicht. darum wollte ich erstmal allgemein nachfragen, wie das mit der linearen Unabhängigkeit und Relationen und so ist...
Wenn du mir natürlich gleich zeigen kannst, wie das hier mit der Induktion geht, wäre das natürlich echt super. Aber ich dachte, das kann ich nicht erwarten...
Danke und Grüße Matze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:20 Do 03.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mo 30.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ich habe die Relation [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=0[/mm] und
> würde gerne wissen was es heißt, dass diese Relation
> trivial ist.
Ich nehme mal an, die [mm] $b_i$ [/mm] liegen in einem Modul und die [mm] $a_i$ [/mm] in einem Ring? Und die [mm] $b_i$ [/mm] sind irgendwie fest?
Dann ist damit gemeint, dass die [mm] $a_i$ [/mm] alle 0 sind.
Hintergrund: man betrachtet meistens fuer feste [mm] $b_1, \dots, b_n$ [/mm] die Menge aller Relationen, d.h. [mm] $\{ (a_i)_i \mid \sum_i a_i b_i = 0 \}$. [/mm] Diese ist (je nachdem was die [mm] $a_i$ [/mm] und [mm] $b_i$ [/mm] sind) eine abelsche Gruppe. Ist etwa der Grundring [mm] $\IZ$, [/mm] so ist die Relationenmenge ein Gitter im [mm] $\IZ^n$. [/mm] Dies betrachtet man z.B., wenn man den Hauptsatz ueber die Klassifikation von endlich erzeugten abelschen Gruppen herleiten/beweisen moechte: wird die Gruppe $A$ von [mm] $b_1, \dots, b_n$ [/mm] erzeugt und ist $G$ das Relationengitter von [mm] $b_1, \dots, b_n$, [/mm] so ist $A [mm] \cong \Z^n [/mm] / G$; um alle Gruppen zu klassifizieren, kann man also auch alle Gitter im [mm] $\Z^n$ [/mm] klassifizieren, und wenn man das ueber die Smith-Normalform macht, bekommt man gerade den Hauptsatz (zumindest die Existenz).
LG Felix
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