Über sinus (x^2) integrieren < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien R > 0 und die Wege [mm] \gamma_{1}(t)=t, \gamma_{2}(t)=R+it, \gamma_{3}(t)=t(1+i), [/mm] mit jeweils t [mm] \in [/mm] [0,R].
Berechne: [mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(x^{2}) dx} [/mm] und [mm] \integral_{0}^{\infty}{cos(x^{2}) dx}, [/mm] indem man das Gauß-Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}=\bruch{\wurzel{\pi}}{2} [/mm] verwendet. |
Hallo,
ich weiß, dass [mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(x^{2}) dx}=\integral_{0}^{\infty}{cos(x^{2}) dx}= \bruch{\wurzel{2\pi}}{4} [/mm] sein muss. Aber wie kommt man auf dieses Ergebnis [mm] \bruch{\wurzel{2\pi}}{4}? [/mm] Bei der Aufgabe ist bereits bekannt/bewiesen worden, dass
[mm] \integral_{\gamma_{3}}^{}{e^{-z^{2}} dz} [/mm] = [mm] \integral_{\gamma_{1}}^{}{e^{-z^{2}} dz} [/mm] + [mm] \integral_{\gamma_{2}}^{}{e^{-z^{2}} dz} [/mm] gilt, und dass [mm] \integral_{\gamma_{2}}^{}{e^{-z^{2}} dz} \to [/mm] 0 für R [mm] \to \infty
[/mm]
Kann mir da jemand helfen, wie ich auf die Tatsache [mm] \integral_{0}^{\infty}{sin(x^{2}) dx}=\integral_{0}^{\infty}{cos(x^{2}) dx}= \bruch{\wurzel{2\pi}}{4} [/mm] komme?
Vielen Dank,
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Di 01.05.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] e^{-ix^2}=cos(x^2)-i*sin(x^2)
[/mm]
Dann schau dir deine Integrationswege an..... und verwende obiges...
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