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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 Mi 23.02.2011 | | Autor: | Dani7 |
| Aufgabe | Gegeben sei ein überbestimmtes Gleichungssystem der Form z=A*x.Berechnen Sie für das Gleichungssystem
x=1
x=2
x=3
die optimale Lösung im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate. |
Ich weiß bei diesem Beispiel nicht wirklich was genau ich ausrechnen soll, also was eigentlich meine Lösung sein soll.
Ich habe gedacht, dass man einen Mittelwert für x ausrechnen soll, bin mir aber wie gesagt nicht sicher ob ich das richtig verstehe.
In der Annahme, dass ich also einen Mittelwert für x ausrechnen soll, habe ich folgendes gedacht:
z= [1 2 [mm] 3]^T
[/mm]
A= [a1 a2 [mm] a3]^T [/mm]
x= [mm]\hat{x}[/mm]
als Fehler habe ich folgendes definiert:
e= z-A*[mm]\hat{x}[/mm]
weiters habe ich die Fehlerquadrate berechnet als
J= [mm] e^T*e, [/mm] das sieht dann folgendermaßen aus:
J = [1-a1*[mm]\hat{x}[/mm] 2-a2*[mm]\hat{x}[/mm] 3-a3*[mm]\hat{x}\[/mm]]*[1-a1*[mm]\hat{x}\[/mm] 2-a2*[mm]\hat{x}\[/mm] 3-a3*[mm]\hat{x}\[/mm][mm] ]^T
[/mm]
daraus ergibt sich dann:
J = (1-a1*[mm]\hat{x}\[/mm][mm] )^2 [/mm] + (2-a2*[mm]\hat{x}\[/mm][mm] )^2 [/mm] + (3-a3*[mm]\hat{x}\[/mm][mm] )^2
[/mm]
Daraufhin habe ich J nach [mm]\hat{x}\[/mm] abgleitet und dann Null gesetzt um [mm]\hat{x}\[/mm] zu berechnen:
J' = -2*a1*(1-a1*[mm]\hat{x}\[/mm]) - 2*a2*(2-a2*[mm]\hat{x}\
[/mm]) -2*a3*(3-a3*[mm]\hat{x}\
[/mm])=0
Als Lösung bekomme ich dann:
[mm]\hat{x}\
[/mm] = (a1 + a2 [mm] +a3)/(a1^2 [/mm] + [mm] a2^2 [/mm] + [mm] a3^2)
[/mm]
Ich habe aslo angenommen, dass drei x-WErte gegeben sind und deshalb drei Gleichungen und eine Unbekannte, nämlich [mm]\hat{x}\
[/mm] vorhanden sind. Da aber keine Werte für die Matrix a vorhanden sind habe ich diese allgemein angenommen.
Da aber in der Angabe steht, dass man eine "optimale Lösung" im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate suchen soll, habe ich mir gedacht, dass man wahrscheinlich gar keine allgemeine Lösung sucht, aber ich weiß nicht wie die dann anzusetzen wäre.
Deswegen bitte ich um Hilfe, wenn sich jemand die Mühe machen würde sich das anzusehen.
PS: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum oder irgendwo anders gestellt.
lg danke daniela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Do 24.02.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Du hast die drei Gleichungen
x=1
x=2
x=3
und sollst sie in der Form Ax=z schreiben.
D.h. es soll gelten
[mm] $Ax=\pmat{x\\ x\\ x}$
[/mm]
(was ist also A?) und
[mm] $z=\pmat{1\\2\\3}$
[/mm]
$J' = [mm] -2a_1*(1-a_1\hat{x}) [/mm] - [mm] 2a_2*(2-a_2\hat{x}) -2a_3*(3-a_3\hat{x})=0$
[/mm]
Bis hier stimmt Deine Lösung, aber in der nächsten Zeile ist das 1, 2, 3 vom z plötzlich verschwunden.
ciao
Stefan
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