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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 So 27.01.2008 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Sei [mm] x_n [/mm] → x eine konvergente Folge in einem metrischen Raum (X, d).
Zeigen Sie ohne Benutzung des Satzes von Heine-Borel:
M = [mm] \{x_n :n \in N \} [/mm] ∪ {x} ist überdeckungskompakt, d.h. für jede Famile [mm] (U_i)_i_\in_I [/mm] von offenen Mengen mit M ⊂ [mm] \cup_i_\in_i U_i [/mm] gibt es eine endliche Auswahl J ⊂ I mit M ⊂ [mm] \cup_i_\in_J U_i
[/mm]
(Kurz: Jede offene Überdeckung von M hat eine endliche Teilüberdeckung).
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Hi,
also ich verstehe nicht so ganz wie ich das ohne den Satz von Heine-Borel beweisen soll, denn das ist so der einzige Satz, den wir im Zusammenhang mit Überdeckungskomaktheit hatten. Gibt es denn noch eine andere Möglichkeit das zu beweisen?
Vielen Dank
Gruß Smex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 So 27.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
überlege dir, dass in einer der mengen [mm] $U_{i_0}$ [/mm] der grenzwert $x$ liegen muss. diese menge ist offen. nun schau dir mal die definition von konvergenz und offenheit in einem metrischen raum an. was kann man über die lage von "vielen" folgegliedern relativ zu [mm] $U_{i_0}$ [/mm] sagen?
grüße
andreas
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