Übereinstimmung von LDFG < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Fr 22.06.2012 | | Autor: | petropen |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die charakteristische Gleichung einer linearen homogenen Differentialgleichung der
Ordnung n mit konstanten Koeffizienten mit dem charakteristischen Polynom der Koeffizientenmatrix des assoziierten
Differentialgleichungssystems erster Ordnung bis auf das Vorzeichen übereinstimmt. |
Hallo,
hat jemand eine Idee, wie das gehen soll?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/charakt-Gleichung-und-charakt-Polynom
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeigen Sie, dass die charakteristische Gleichung einer
> linearen homogenen Differentialgleichung der
> Ordnung n mit konstanten Koeffizienten mit dem
> charakteristischen Polynom der Koeffizientenmatrix des
> assoziierten
> Differentialgleichungssystems erster Ordnung bis auf das
> Vorzeichen übereinstimmt.
> Hallo,
>
> hat jemand eine Idee, wie das gehen soll?
Definiere dir Hilfsfunktionen der Folgenden Art:
[mm] y_0(x)=y(x)
[/mm]
[mm] y_1(x)=y'(x)
[/mm]
[mm] y_2(x)=y''(x)=\left(y_1(x)\right)'
[/mm]
.
.
.
[mm] y_{n-1}(x)=y^{(n-1)}(x)=\left(y_{n-2}(x)\right)'
[/mm]
Drücke zusätzlich noch die 1. Ableitung der Hilfsfunktion [mm] y_{n-1} [/mm] als Vielfaches der Hilfsfunktionen [mm] y_i [/mm] aus. Jetzt hast du ein lineares homogenes System erster Ordnung. Mit seiner Koeffizientenmatrix erhältst du die charakteristsiche Gleichung, welche mit derjenigen der zugehörigen DGL n. Ordnung eben bis auf Vorzeichen übereinsteimmen sollte.
Gruß, Diophant
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