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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Überprüfen ob Mannigfaltigkeit
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Überprüfen ob Mannigfaltigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Di 15.04.2014
Autor: ralpho

Aufgabe
[mm] $\text{Für welche c definiert } x^2+y^2-z^6=c \text{ eine Mannigfaltigkeit im } \mathbb{R}^3$ [/mm]

Hallo,
Ich habe obige Aufgabe gegeben. Ich habe das ganze nun in eine implizit def. Form umgeschrieben [mm] $M=\{(x,y,z): x^2+y^2-z^6-c=0\}$. [/mm] Nun muss ja gelten, dass $dF=(2x,2y,-6z)$ vollen Rang hat. $dF$ verschwindet nur bei $(0,0,0)$, dies liegt aber für alle $c [mm] \not= [/mm] 0$ nicht in M und somit ist die Funktion für alle diese c eine Mannigfaltigkeit.

Ist diese Vorgehensweise so korrekt?

Danke
Ralph

        
Bezug
Überprüfen ob Mannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Di 15.04.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

> [mm]\text{Für welche c definiert } x^2+y^2-z^6=c \text{ eine Mannigfaltigkeit im } \mathbb{R}^3[/mm]

Ich bezeichne mal obige Punkte, die die Gleichung erfüllen mit N.

>  
> Hallo,
>  Ich habe obige Aufgabe gegeben. Ich habe das ganze nun in
> eine implizit def. Form umgeschrieben [mm]M=\{(x,y,z): x^2+y^2-z^6-c=0\}[/mm].
> Nun muss ja gelten, dass [mm]dF=(2x,2y,-6z)[/mm] vollen Rang hat.

Das Differential hat die Form [mm] DF=(2x,2y,-6z^5). [/mm]

Dir ist das ^5 abhanden gekommen.

> [mm]dF[/mm]
> verschwindet nur bei [mm](0,0,0)[/mm], dies liegt aber für alle [mm]c \not= 0[/mm]
> nicht in M und somit ist die Funktion für alle diese c
> eine Mannigfaltigkeit.

Ja, also [mm] c\not=0. [/mm]

Wobei eigentlich noch zu prüfen wäre:
In jeden Punkt der Menge gibt es offene Umgebung U des [mm] \IR^3 [/mm] und eine
reguläre Abb [mm] F:U\to\IR^1, [/mm] s.d. gilt: [mm] F^{-1}(0)=U\cap{N} [/mm]

>  
> Ist diese Vorgehensweise so korrekt?
>  
> Danke
>  Ralph


Bezug
                
Bezug
Überprüfen ob Mannigfaltigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:54 Do 17.04.2014
Autor: ralpho

Danke! :)
Der fehler mit der Ableitung ist natürlich blöd.

Die zweite Bedingung werde ich mir nochmal anschauen!

lg

Bezug
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