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| Aufgabe | | Überprüfen Sie, ob die Menge G={a,b,c} mit einer der durch die folgenden Tafeln definierten Verknüpfungen eine Gruppe ist! |
Hallo,
ich habe hier eine Tafel die so aussieht
a b c
a a a a
b a b c
c a c b
Das Produkt xy ist das Element in der Zeile x mit der Spalte y.
Lauf Definition ist die Verknüpfung assoziativ, es gibt ein neutrales Element e und zu jedem x [mm] \in [/mm] G gibt es ein inverses Element x'.
Ich habe jetzt erst einmal die Tabelle "aufgedröselt", also a*a=a und a*b=a usw...
Dann habe ich versucht die Definitionsbedingen darauf anzuwenden und bin jetzt soweit, dass ich sage, dass irgendwie a,b und c alle neutral sind und die gesammten gleichungen sowieso assoziativ sind, da irgendwie es auch nur zwei Elemente gibt. Ist das der richtige Weg oder bin ich jetzt total falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Robin,
> Dann habe ich versucht die Definitionsbedingen darauf
> anzuwenden und bin jetzt soweit, dass ich sage, dass
> irgendwie a,b und c alle neutral sind
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Verknüpfungen haben immer höchstens ein neutrales Element. Was bedeutet denn, dass ein Element [mm] $e\in G=\{a,b,c\}$ [/mm] ein neutrales Element ist? Prüfe dann, ob du unter a,b und c ein solches neutrales Element findest.
> und die gesammten
> gleichungen sowieso assoziativ sind,
Ja, die Verknüpfung ist assoziativ.
> da irgendwie es auch
> nur zwei Elemente gibt.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Ich zähle komme beim Zählen der Anzahl der Elemente von G auf 3... 
Wenn du kein neutrales Element findest, bist du fertig. Ansonsten ist G auf die Existenz inverser Elemente zu untersuchen. Das kannst du natürlich erst, wenn du das neutrale Element kennst.
Viele Grüße
Tobias
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Gibt es einen Trick, wie mal ein neutrales Element finden kann?
Bei der Multiplikation kann ja eigentlich nur die 1 neutral sein, da jede andere Zahl das Ergebnis verändert. und da a*a=a und und a*b=a nd a*c=a würde ich hier sagen, dass a das neutrale Element ist.
Aber wenn man die Tabelle weiter auslöst kommt noch b*a=a b*b=b und b*c=c. Hier würde ich dann sagen, dass b das neutrale Element ist. Und es kann ja nur eins geben...
Ist es jetzt so, dass keins existiert, oder darf man die beiden jetzt nicht miteinander gleichsetzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Ein Element [mm] $e\in [/mm] G$ ist neutrales Element, wenn [mm] $e\cdot x=x\cdot [/mm] e=x$ für alle [mm] $x\in [/mm] G$ gilt, also wenn
[mm] $e\cdot a=a\cdot [/mm] e=a$,
[mm] $e\cdot b=b\cdot [/mm] e=b$ und
[mm] $e\cdot c=c\cdot [/mm] e=c$ gilt.
> Bei der Multiplikation kann ja eigentlich nur die 1
> neutral sein, da jede andere Zahl das Ergebnis verändert.
> und da a*a=a und und a*b=a nd a*c=a würde ich hier sagen,
> dass a das neutrale Element ist.
Wäre a neutrales Element, müsste
[mm] $a\cdot a=a\cdot [/mm] a=a$,
[mm] $a\cdot b=b\cdot [/mm] a=b$ und
[mm] $a\cdot c=c\cdot [/mm] a=c$ gelten.
Die letzten beiden Zeilen stimmen jedoch offensichtlich nicht.
> Aber wenn man die Tabelle weiter auslöst kommt noch b*a=a
> b*b=b und b*c=c. Hier würde ich dann sagen, dass b das
> neutrale Element ist.
Das stimmt.
Also hängt die Frage danach, ob G eine Gruppe ist, an der Existenz inverser Elemente. Mache dir also klar, was es heißt, dass a,b und c inverse Elemente haben. Beachte dabei, dass $e=b$ das neutrale Element ist.
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Also wenn b das neutrale Element ist, dann kann man davon ausgehen, dass b=1 ist. Laut Definition muss gelten [mm] x*x^{-1}=b [/mm] mit b als neutralem Element.
Also muss bei a und c jeweils der Kehrwert genommen werden, oder nicht? Dann kommt immer 1 raus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Also wenn b das neutrale Element ist, dann kann man davon
> ausgehen, dass b=1 ist.
Du kannst, wenn du willst, 1 für b schreiben. Aber b ist nicht die reelle Zahl 1!
> Laut Definition muss gelten
> [mm]x*x^{-1}=b[/mm] mit b als neutralem Element.
So ungefähr. Wenn G eine Gruppe sein soll, muss zu jedem [mm] $x\in [/mm] G$ ein Element [mm] $x^{-1}\in [/mm] G$ existieren mit [mm] $x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot [/mm] x=b$.
Fangen wir also mit $x=a$ mit unserer Untersuchung an. Gibt es ein Element [mm] $a^{-1}\in [/mm] G$ (also [mm] $a^{-1}=a$ [/mm] oder [mm] $a^{-1}=b$ [/mm] oder [mm] $a^{-1}=c$) [/mm] mit [mm] $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot [/mm] a=b$?
> Also muss bei a und c jeweils der Kehrwert genommen werden,
> oder nicht? Dann kommt immer 1 raus.
a und c sind ja keine reellen Zahlen. Was soll hier also mit einem Kehrwert gemeint sein?
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> Fangen wir also mit [mm]x=a[/mm] mit unserer Untersuchung an. Gibt
> es ein Element [mm]a^{-1}\in G[/mm] (also [mm]a^{-1}=a[/mm] oder [mm]a^{-1}=b[/mm]
> oder [mm]a^{-1}=c[/mm]) mit [mm]a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=b[/mm]?
>
Eigentlich gibt es das ja schon. wenn [mm] a^{-1}\*a=b [/mm] ist, gibt es das ja in der Gruppe G={a,b,c} b ist da. Oder muss ich mich auf [mm] a^{-1} [/mm] beziehen. Das wäre ja nicht in der Gruppe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Eigentlich gibt es das ja schon. wenn [mm]a^{-1}\*a=b[/mm] ist, gibt
> es das ja in der Gruppe G={a,b,c} b ist da. Oder muss ich
> mich auf [mm]a^{-1}[/mm] beziehen. Das wäre ja nicht in der Gruppe
Vielleicht ist die Notation [mm] $a^{-1}$ [/mm] von mir etwas unglücklich gewählt. Noch wissen wir ja gar nicht, ob $a$ ein Inverses besitzt.
Daher formuliere ich nochmal neu: Die Frage ob $a$ ein Inverses besitzt, ist die Frage danach, ob ein [mm] $y\in [/mm] G$ existiert mit [mm] $a\cdot y=y\cdot [/mm] a=b$.
Probieren wir also die drei Elemente durch:
Tut es $y=a$? Nein, denn [mm] $a\cdot a=a\not=b$.
[/mm]
Tut es $y=b$? ...
Tut es $y=c$? ...
Hat $a$ also ein Inverses Element?
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> Probieren wir also die drei Elemente durch:
> Tut es [mm]y=a[/mm]? Nein, denn [mm]a\cdot a=a\not=b[/mm].
> Tut es [mm]y=b[/mm]? ...
> Tut es [mm]y=c[/mm]? ...
>
für y=b : [mm] a*b=a\not=b
[/mm]
für y=c : [mm] a*c=a\not=b
[/mm]
> Hat [mm]a[/mm] also ein Inverses Element?
Also hat a kein inverses Element und somit ist die gesamte Tafel keine Gruppe?!
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Aaaaachsooo... Gut, dann habe ich das jetzt verstanden. Dankeschööön 
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eine Frage hätte ich doch noch
Wenn man das ganze für b probiert erhält man für [mm] y=a\not=b [/mm] und bei y=b b und für [mm] y=c\not=b. [/mm] Hat b jetzt ein inverses, sprich b, oder müssen alle drei Fälle stimmen?>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Wenn man das ganze für b probiert erhält man für
> [mm]y=a\not=b[/mm] und bei y=b b und für [mm]y=c\not=b.[/mm] Hat b jetzt ein
> inverses, sprich b, oder müssen alle drei Fälle stimmen?>
Aus [mm] $b\cdot [/mm] b=b$ kannst du entnehmen, dass $b$ sich selbst als inverses Element hat. Insbesondere hat $b$ ein inverses Element.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
