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| Aufgabe | | Wie kann man das Ausmultiplizieren von z.B. 3 (a+b)-Thermen überprüfen ? |
Hallo Matheraum,
ich möchte die Eigenwerte zu einer Matrix bestimmen und muß u.a. von der Diagonalen dieser Matrix je - h abziehen, dann die Determinante bestimmen.
[mm] \pmat{ 2 & 1 &-1\\ 1 &3 &1\\ -2 & 1 &1}- E*h=\pmat{ 2-h & 1 &-1\\ 1 &3-h &1\\ -2 & 1 &1-h}
[/mm]
beim Ausrechnen der Determinante nach Sarrus kommt man u.a. auf (2-h)*(3-h)*(1-h), was nur sehr fehlerträchtig auszumultiplizieren ist. Meine Frage ist, ob dies nicht irgendwie überprüft werden kann :
Mein Ansatz :
generell für den Term (a1+b1)*(a2+b2) kann man mit der Matrix
A = [mm] \pmat{ 0 & a_1 \\ 0 & b_1 } [/mm] und B = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ a_2 & b_2 } [/mm] durch AxB die Lösung finden :
z.B. für (2-a)*(3-a) ergibt A [mm] =\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & -1 } [/mm] und B = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 3 & -1 } [/mm] durch AxB = [mm] \pmat{ 6 & -2\\ -3 & 1 },
[/mm]
also 6 -2h -3h [mm] +1h^2.
[/mm]
Hat jemand eine gute Überprüfmöglichkeit für 3 Klammern ? Komme mit meinem Ansatz dort nicht weiter ...
bin gespannt und vielen Dank für Eure Mühe !!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich Dein Problem richtig verstehe:
Du hast, um das charakteristische Polynom zu berechen, die Determinante einer Matrix mit der Regel v. Sarrus berechnet. Den erhaltenen Ausdruck hast Du ausmultipliziert, und nun möchtest Du wissen, ob beide Polynome übereinstimmen?
Meine Methode: ich setze einfach rechts und links eine Zahl ein für die Variable.
Wenn's rechts und links nicht übereinstimmt, weiß ich, daß ich etwas falsch gemacht habe.
Wenn's stimmt und ich sehr mißtrauisch bin, nehme ich noch eine zweite. Wenn's dann auch noch stimmt, sage ich mir: die Wahrscheinlichkeit, daß ich richtig gerechnet habe, ist groß.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Wie kann man das Ausmultiplizieren von z.B. 3 (a+b)-Thermen
> überprüfen ?
> beim Ausrechnen der Determinante nach Sarrus kommt man u.a.
> auf (2-h)*(3-h)*(1-h), was nur sehr fehlerträchtig
> auszumultiplizieren ist. Meine Frage ist, ob dies nicht
> irgendwie überprüft werden kann :
Es gibt zunächst mehrere Möglichkeiten eine solche [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrix auszurechnen. Wenn man die Rechenregeln für Determinanten beherrscht, ist es oftmals leichter diese anzuwenden und anschließend die Determinante zu bestimmen. Kennt man die Rechenregeln jedoch nicht (oder enthält die Matrix viele Nulleinträge) so wendet man Sarrus an und erhält leicht die Determinante. Eine weitere Möglichkeit ist die Anwendung der Leibnizformel. Diese erfordert jedoch Kenntnisse in der Permutationstheorie.
Angenommen Du hast nun eine vollbesetzte [mm] $3\times [/mm] 3$ Matrix und wendest Sarrus an, so erhälst Du eine Summe von Produkten dreier Zahlen. Diese lassen sich überprüfen. Dazu basteln wir uns mal kurz eine Formel: Seien [mm] $a,b,c,d,e,f\in\IR$ [/mm] beliebig. Dann gilt:
[mm] $(a+b)\cdot(c+d)\cdot(e+f)$
[/mm]
[mm] $=\,(ac+bc+ad+bd)\cdot(e+f)$
[/mm]
[mm] $=\,ace+bce+ade+bde+acf+bcf+adf+bdf$
[/mm]
Somit hast Du eine Formel zum überprüfen. Ob dies Deine Berechnung erleichtert, lasse ich mal dahingestellt. Am einfachsten ist, wenn Du Dir die Rechenregeln für ein Determinante ansiehst. Denn vorallem, wenn Du größere Matrizen hast, bist Du darauf angewiesen von diesen Rechenregeln Gebrauch zu machen, ansonsten rechnest Du dich zutode.
> Mein Ansatz :
> generell für den Term (a1+b1)*(a2+b2) kann man mit der
> Matrix (...)
Das ist ein Ansatz für den [mm] $\IR^2$. [/mm] Nicht gut. Schnell vergessen.
> Hat jemand eine gute Überprüfmöglichkeit für 3 Klammern ?
> Komme mit meinem Ansatz dort nicht weiter ...
Habe oben einen erklärt.
> bin gespannt und vielen Dank für Eure Mühe !!!
Bitte Bitte.
Hoffe, dass Dir das weitergeholfen hat
Gruß
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Hallo an Danny und Angela,
vielen Dank für Eure schnellen und ausführlichen Beiträge, werde wohl statt Sarrus eher Unterdeterminanten gliedern und ausrechnen. Gefahr sich zu verrechnen durch weniger Faktoren in der Klammer deutlich geringer.
Ich hatte gehofft dass man irgendwie eine Ergebnismatrix bekommt wo man die Koeffizienten einfach ablesen kann. Multiplikation mit Variablen nach (a+2)*(b-3)=ab -3a +2b -6 kann selbst der TI Voyage noch nech (geschweige denn mein fx-991ES)...
Das Ausmultiplizieren iss also reine Nervensache, wobei mir wie gesagt die Unterdeterminanten sehr liegen.
Danke nochmals und schönen Sonntag ;))
GbU,
Lars
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