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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Man kann zeigen, dass die Menge K := [mm] {a+b\wurzel{3}/ a,b \varepsilon \IQ} \subseteq \IR [/mm] bezüglich der Addition und Multiplikation
reeller Zahlen ein Körper ist. Überprüfen Sie hier nur, dass jedes 0 [mm] \not= [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] K multiplikativ
invertierbar ist. |
Hallo. Kann mir jemand da einen Ansatz oder Tipps geben, wie man an sowas herangeht. Hab da irgendwie noch Probleme mit. Danke sehr.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst hier zeigen, dass es zu jedem [mm] $x\in [/mm] K$, also zu jedem [mm] x=a+b\wurzel{3} [/mm] ein eindeutig bestimmtes inverses Element [mm] x_{i}=a_{i}+b_{i}\wurzel{3} [/mm] gibt, so dass
[mm] x*x_{i}=1_{K}, [/mm] wobei [mm] 1_{K} [/mm] das Einselement der Multiplikation auf K ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Kannst du mir vllt erklären, wie man sowas ungefähr zeigt. Nur son Ansatz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Überlege zuerst, was in deinem Korper das konkrete Einselement [mm] 1_{K}=a_{1}+b_{1}\wurzel{3} [/mm] der Multiplikation ist.
hast du dieses, versuche damit die inversen "Parameter" [mm] a_{i} [/mm] und [mm] b_{i} [/mm] aus meiner ersten Antwort zu finden.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Da muss doch nachher eins rauskommen, also so:
x [mm] \* x^{-1} [/mm] = 1 oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Da muss doch nachher eins rauskommen, also so:
>
> x [mm]\* x^{-1}[/mm] = 1 oder nicht?
Ja, aber [mm] 1_{K}=1+0\wurzel{3}, [/mm] da [mm] $1\notin [/mm] K$
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Woher weißt du, dass 1 [mm] \not\in [/mm] K ist? Sry, aber kapiers irgendwie nicht.
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Hallo,
> Woher weißt du, dass 1 [mm]\not\in[/mm] K ist? Sry, aber kapiers
> irgendwie nicht.
??
Es ist [mm] $1_K=\red{1}+\blue{0}\cdot{}\sqrt{3}$ [/mm] das Einselement in $K$, denn zum einen sind ja [mm] $\red{1}\in\IQ$ [/mm] und [mm] $\blue{0}\in\IQ$
[/mm]
Also ist das Element [mm] $1_K$ [/mm] tatsächlich in der Menge $K$ drin.
Weiter rechne nach, ob für bel. [mm] $x=a+b\sqrt{3}\in [/mm] K$ gilt:
[mm] $1_K\cdot{}x=x\cdot{}1_K=x$ [/mm] und zeige somit, dass sich [mm] $1_K$ [/mm] tatsächlich multiplikativ neutral verhält
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Dann müsste da doch stehn:
( a + b [mm] \wurzel{3}) \* [/mm] (1 + [mm] 0\wurzel{3} [/mm] (mit Distr.) = (a + [mm] b\wurzel{3})
[/mm]
Das das gleiche úmgekehrt gilt, ist ja analog.
Ist das so dann ok. Muss man in der Aufgabe nicht viel mehr zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Dann müsste da doch stehn:
>
> ( a + b [mm]\wurzel{3}) \*[/mm] (1 + [mm]0\wurzel{3}[/mm] (mit Distr.) = (a +
> [mm]b\wurzel{3})[/mm]
Yep, aber ein wenig ausführlicher wäre schön, also
[mm] (a+b\wurzel{3})(1+0\wurzel{3})=a*1+a*0\wurzel{3}+b\wurzel{3}*1+b\wurzel{3}*0)=\ldots
[/mm]
>
> Das das gleiche úmgekehrt gilt, ist ja analog.
Dann schreib das aber auch noch hin, warum. Wenn du die Kommutativität der Multiplikation von K gezeigt hast, erwähne das, sonst musst du eben [mm] (1+0\wurzel{3})(a+b\wurzel{3}) [/mm] noch ausrechnen.
>
> Ist das so dann ok. Muss man in der Aufgabe nicht viel mehr
> zeigen?
Viel mehr nicht, aber etwas ausführlicher.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Super. Ja das hab ich verstanden. Eine Frage hab ich aber noch, auch wenn man das hier nicht machen müsste. Wie würde man die Kommutativität beweisen? Ich weiß selbst, dass das einfach sein soll (laut Dozent), aber ich muss das mal an einem Beispiel sehn, damit ich das begreife. Danke sehr. Das Andere zuvor hab ich aber verstanden. ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Für Kommutativität nimm dir zwei Elemente [mm] x=a+b\wurzel{3} [/mm] und [mm] y=c+d\wurzel{3} [/mm] aus k her und zeige, dass
[mm] x*y=(a+b\wurzel{3})(c+d\wurzel{3})=\ldots=(c+d\wurzel{3})(a+b\wurzel{3})=y*x
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Verstehe. Noch mal eine Frage zur Sicherheit, damit ich das verstehe. Was wir eben gemacht haben, war das nicht das neutrale Element. Weil ja nach dem Inversen gefragt ist oder irre ich mich da?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Für das Inverse Element hatte ich dir ja hier oben schon was geschrieben.
Bestimme also die [mm] a_{i} [/mm] und [mm] b_{i} [/mm] (in Abhängigkeit von a und b), für die gilt:
[mm] (a+b\wurzel{3})(a_{i}+b_{i}\wurzel{3})=(1+0\wurzel{3}) [/mm]
Also:
[mm](a+b\wurzel{3})(a_{i}+b_{i}\wurzel{3})[/mm]
[mm]=aa_{i}+ba_{i}\wurzel{3}+b_{i}a\wurzel{3}+b_{i}\wurzel{3}b\wurzel{3}[/mm]
[mm]=aa_{i}+3bb_{i}+ba_{i}\wurzel{3}+b_{i}a\wurzel{3}[/mm]
[mm]=(aa_{i}+3bb_{i})+(ba_{i}+b_{i}a)\wurzel{3}[/mm]
Das heisst, es muss gelten,
[mm] (aa_{i}+3bb_{i})+(ba_{i}+b_{i}a)\wurzel{3}=1+0\wurzel{3}
[/mm]
Daraus bekommst du folgendes Gleichungssystem:
[mm] \vmat{aa_{i}+3bb_{i}=1\\ba_{i}+ab_{i}=0}
[/mm]
Daraus kannst du jetzt die konkreten [mm] a_{i} [/mm] und [mm] b_{i} [/mm] bestimmen, natürlich in Abhängigkeit von a und b. Und damit dann eben auch das zu [mm] x=a+b\wurzel{3} [/mm] inverse Element [mm] x_{i}=a_{i}+b_{i}\wurzel{3}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok, das versteh ich. Jetzt muss ich also nur noch mittels Einsetzungsverfahren rausfinden, was die einzelne Werte des inversen Elements sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Ok, das versteh ich. Jetzt muss ich also nur noch mittels
> Einsetzungsverfahren rausfinden, was die einzelne Werte des
> inversen Elements sind?
Welches Verfahren du nutzt, ist egal. Du musst mit einem Verfahren das Gleichungssystem lösen
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Naja, mein Verfahren ist ja nicht wirklich erfolgsversprechend xD Wie soll man das lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Sa 27.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Naja, mein Verfahren ist ja nicht wirklich
> erfolgsversprechend xD Wie soll man das lösen?
Das bleibt dir überlassen. Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren, all das sind Möglichkeiten, dieses LGS zu lösen. Und von einem Mathe-Studenten im Grundstudium darf man das auch erwarten, dass er dieses hinbekommt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ne, irgendwie krieg ich das hin. Und ich weiß selbst, dass ich das können müsste. Aber da sind doch vier Variablen, die ich nicht kenne. Wie soll das gehn? Naja ich probiers nochmal :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
a,b sind nicht Unbekannte sondern allgemeine Zahlen. nur [mm] a_i,b_i [/mm] sind unbekannte, die natürlich durch a,b bestimmt sind.
wenn ich schreibe im Reellen [mm] :a*a_i=1 [/mm] bestimme [mm] a_i [/mm] zu jedem bel. a sagst du doch auch nicht da sind 2 Unbekannt, ich kanns nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Könnt ich dann so umformen (?):
Es gilt ja:
(1) a [mm] a_{i} [/mm] + 3b [mm] b_{i} [/mm] = 1
(2) b [mm] a_{i} [/mm] + a [mm] b_{i} [/mm] = 0
Wenn ich jetzt davon ausgehe, dass ich a und b gegeben hätte, könnte ich folgendermaßen vorgehen:
Ich löse (2) nach [mm] a_{i} [/mm] auf:
[mm] a_{i} [/mm] = - [mm] \bruch{a}{b} b_{i}
[/mm]
Dies setzt man nun in (1) ein:
(- [mm] \bruch{a^{2}}{b}) b_{i} [/mm] + 3 b [mm] b_{i} [/mm] = 1
Durch Ausklammern erhält man folgendes:
[mm] b_{i} \* (\bruch{-a^{2} + 3b^{2}}{b} [/mm] = 1
Umgeformt erhält man also:
[mm] b_{i} [/mm] = [mm] \bruch{b}{{-a^{2} + 3b^{2}}}
[/mm]
Stimmt das bis hierhin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig solange der Nenner nicht 0 ist.
aber rechne das nächste mal fertigud schick nicht für jeden schritt ne Frage,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry aber möchte immer fragen, ob das so ok ist, was ich mache ;) Bin aber froh, dass es stimmt xD Naja, [mm] a_{i} [/mm] ist ja jetzt klar. Und daraus kann ich dann das "allgemeine" Inverse finden. Das versteh ich jetzt.
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