Überprüfung der Peano-Axiome < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei
[mm] R_1=\{a+b*\wurzel{2} | a,b\in \IZ \}
[/mm]
[mm] R_2=\{a+b*\wurzel{2} | a \in \IN, b\in \IZ \}
[/mm]
und
S: [mm] R_{1,2} \to R_{1,2}, [/mm] S(x)=x+1.
Welche der Peano-Axiome werden von [mm] (R_1,S) [/mm] bzw. [mm] (R_2,S) [/mm] erfüllt? |
Hi,
hier noch einmal die Def. von den Peano-Axiomen von uns.
> Sei $ [mm] \IN [/mm] $ eine ausgezeichnete Menge und 0 $ [mm] \in \IN [/mm] $ ein Element aus $ [mm] \IN. [/mm] $ Weiter sei S: $ [mm] \IN \to \IN [/mm] $ eine Abbildung, für die gilt:
> (1) 0 $ [mm] \not\in S(\IN) [/mm] $
> (2) S ist injektiv
> (3) Sei A $ [mm] \subset \IN [/mm] $ mit 0 $ [mm] \in [/mm] $ A und für jedes a $ [mm] \in [/mm] $ A gelte S(a) $ > [mm] \in [/mm] $ A. Dann ist $ [mm] A=\IN. [/mm] $
Ich weiß jetzt gerade nicht, wie ich hier anfangen soll. Ok, das Axiom (2) müsste bei [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2 [/mm] erfüllt sein, da ja S(x)=x+1 injektiv ist.
Aber wie fang ich bei (1) und (3) an? Woher weiß ich, welches unser Anfangselement ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Di 03.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
prüf mal 1. für R1 was ist mit [mm] S(-1+0*\wurzel{2}
[/mm]
dann überprüfe 3.
gruss leduart
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HI.
[mm] R_1=\{a+b\cdot{}\wurzel{2} | a,b\in \IZ \}
[/mm]
> prüf mal 1. für R1 was ist mit $ [mm] S(-1+0\cdot{}\wurzel{2}) [/mm] $
dann überprüfe 3.
Aber in der Def. ist doch 0 unser Anfangselement, oder?
Wenn ich jetzt [mm] S(-1+0\cdot{}\wurzel{2})=S(-1)=(-1)+1=0 [/mm] berechne, woher weiß ich, dass für a=-1 und b=0 S(-1), also -1 mein Anfangswert ist?
Und wie schließe ich draus (1)?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Di 03.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
da stand doch 0 $ [mm] \not\in S(\IN) [/mm] $
aber [mm] -1\in R_1 [/mm] und S(-1)=0!
Gruss leduart
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Hallo nochmal.
Ich glaube, du hast das bisschen falsch verstanden.
Die Sache ist, dass bei dieser Def.
> Sei $ [mm] \IN [/mm] $ eine ausgezeichnete Menge und 0 $ [mm] \in \IN [/mm] $ ein Element aus $ [mm] \IN. [/mm] $ Weiter sei S: $ [mm] \IN \to \IN [/mm] $ eine Abbildung, für die gilt:
> (1) 0 $ [mm] \not\in S(\IN) [/mm] $
> (2) S ist injektiv
> (3) Sei A $ [mm] \subset \IN [/mm] $ mit 0 $ [mm] \in [/mm] $ A und für jedes a $ [mm] \in [/mm] $ A gelte S(a) $ > [mm] \in [/mm] $ A. Dann ist $ [mm] A=\IN. [/mm] $
ich dachte, dass 0 hier einen Anfangswert repräsentiert. D.h. ich könnte das gleiche auch so ausdrücken:
> Sei $ [mm] \IN [/mm] $ eine ausgezeichnete Menge und 1 $ [mm] \in \IN [/mm] $ ein Element aus $ [mm] \IN. [/mm] $ Weiter sei S: $ [mm] \IN \to \IN [/mm] $ eine Abbildung, für die gilt:
> (1) 1 $ [mm] \not\in S(\IN) [/mm] $
ist das nicht so gemeint??
Das hat ja was mit diesen Nachfolgerzahlen zu tun....
Und deswegen bezogen auf unsere Aufgabe, da muss man wohl
[mm] R_1 \to R_1 [/mm] mit [mm] R_1=\{a+b\cdot{}\wurzel{2} | a,b\in \IZ \} [/mm] betrachten.
Ich weiß jetzt nur nicht, was man hier als Anfangselement betrachten muss....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Di 03.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du N bei 1 anfängst gehört 0 nicht dazu, d.h. 1 ist nicht Nachfolger einer Zahl aus N
wie ist das in [mm] R_1 [/mm] findest du da eine zahl, die nicht Nachfolger einer zahl aus [mm] R_1 [/mm] ist, also gibt es eine Zahl [mm] y=a+b\wurzel{2} a\in\IZ [/mm]
mit für die es kein x gibt mit x+1=y?
Gruss leduart
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Hi,
habe die Aufgabe noch immer nicht lösen können.
> [mm] R_1=\{a+b\cdot{}\wurzel{2} | a,b\in \IZ \}
[/mm]
> Hallo
> wenn du N bei 1 anfängst gehört 0 nicht dazu, d.h. 1 ist
> nicht Nachfolger einer Zahl aus N
> wie ist das in [mm]R_1[/mm] findest du da eine zahl, die nicht
> Nachfolger einer zahl aus [mm]R_1[/mm] ist, also gibt es eine Zahl
> [mm]y=a+b\wurzel{2} a\in\IZ[/mm]
> mit für die es kein x gibt mit x+1=y?
Irgendwie komme ich hier nicht weiter, denn ich kann ja für a eine bel. Zahl aus [mm] \IZ [/mm] einsetzen, deswegen ist ja z.B.
[mm] R_1=\{a+b\cdot{}\wurzel{2} | a,b\in \IZ \}=\{....-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2...| a \in \IZ, und b=0 \}
[/mm]
Wie kann ich dann das überprüfen, was du da oben meinst??? Also wie finde ich mein Anfangselement??
Gilt eigentlich Axiom (1), weil ja
[mm] a+b\cdot{}\wurzel{2}\not=S(a+b\cdot{}\wurzel{2})=a+b\cdot{}\wurzel{2} [/mm] + 1
nicht sein kann?? Denn rechts addiere ich ja schließlich immer noch eine 1 dazu, deswegen ist
y [mm] \not\in S(R_1).
[/mm]
Mich würde trotzdem interessieren, was Anfangselement ist und wie man den Schritt (1) richtig begründet.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Mi 04.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass du kein Anfangselement finden kannst, heisst doch dass 1 nicht zutrifft.
wenn du -5 nimmst liegt -6 davor, wenn du [mm] -10^9 [/mm] nimmst liegt [mm] -10^9-1 [/mm] davor usw.
gruss leduart
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HI,
achso. Das das ein Widerspruch zu (1) ist, daran hätte ich jetzt ehrlich gesagt gar nicht gedacht.
[mm] R_2=\{a+b\cdot{}\wurzel{2} | a \in \IN, b\in \IZ \} [/mm]
Bei [mm] R_2 [/mm] müsste aber demnach (1) auch nicht erfüllt sein, oder??
Denn auch hier kann ich ja kein Anfangselement finden, man bekommt für a=1 und b=-1 z.B. -0,41. Aber wenn ich a und verändere, erhalte ich wieder kein Anfangselement.
Und wie kann ich das (3) Axiom zeigen oder widerlegen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mi 04.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
R2: du kannst mit a=0 anfangen, b beliebig, das hat keinen Vorgänger
denn vielfache von [mm] \wurzel{2} [/mm] sind ja nie wieder Vorgänger (in Gedanken -1) von [mm] 0+b\wurzel{2}
[/mm]
nur was ist dann mit 3.???
Gruss leduart
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> Hallo
> R2: du kannst mit a=0 anfangen, b beliebig, das hat keinen
> Vorgänger
> denn vielfache von [mm]\wurzel{2}[/mm] sind ja nie wieder
> Vorgänger (in Gedanken -1) von [mm]0+b\wurzel{2}[/mm]
> nur was ist dann mit 3.???
Ich weiß nicht, ob ich dich gerade richtig verstehe. Du sagst aber auch, dass bei [mm] R_2 [/mm] (1) NICHT gilt, oder??
Denn wir haben ja hier auch, wenn wir a=0 setzen
[mm] ...,-2\wurzel{2},-1b\wurzel{2},...
[/mm]
Also geht (1) nicht!
Ja, bei 3 weiß ich ja nicht.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mi 04.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist der vorgänger v von [mm] -7*\wurzel{2} [/mm] aus R2
da muss doch gelten [mm] v+1=-7*\wurzel{2} [/mm] findest du so ein v in R2?
Gruss leduart
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> Hallo
> was ist der vorgänger v von [mm]-7*\wurzel{2}[/mm] aus R2
> da muss doch gelten [mm]v+1=-7*\wurzel{2}[/mm] findest du so ein v
> in R2?
Hmmm, ich dachte, ich muss schauen, ob es einfach einen Vorgänger von z.B. [mm] -7*\wurzel{2} [/mm] gibt, und das wäre ja [mm] -8*\wurzel{2}, [/mm] aber das ist wohl falsch??
Denn bei [mm] R_1 [/mm] haben wir doch auch gesagt, dass -5 Vorgänger von -4 ist, etc. Wieso geht das hier denn nicht??
Bei [mm] R_1 [/mm] hatten wir doch auch gesagt, wenn ich für b=0 einsetze, dann kriege ich für a=-5 S(-5)=-4 und dann S(-6)=-5. Und das kann ich doch jetzt auch auf [mm] R_2 [/mm] übertragen?
sei a=0, dann ist [mm] S(-7)=-7*\wurzel{2} [/mm] +1 und [mm] S(-8)=-8*\wurzel{2} [/mm] +1
Wo steckt denn gerade mein Denkfehler??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mi 04.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] s(-8\wurzel{2}=-8\wurzel{2} [/mm] also sicher nicht [mm] -7\wurzel{2}!
[/mm]
du musst wirklich auf die Definitionen achten!
Gruss leduart
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> [mm]s(-8\wurzel{2}=-8\wurzel{2}[/mm] also sicher nicht
> [mm]-7\wurzel{2}![/mm]
> du musst wirklich auf die Definitionen achten!
Ach ne, da habe ich mich vertan. ich meinte:
sei a=0, dann ist $ [mm] S(-7*\wurzel{2})=-7\cdot{}\wurzel{2} [/mm] $ +1 und $ [mm] S(-8*\wurzel{2})=-8\cdot{}\wurzel{2} [/mm] $ +1
jetzt sehe ich gerade irgendwie immer noch nicht den unterschied zwischen [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2. [/mm] Also warum [mm] R_1 [/mm] (1) nicht erfüllt und [mm] R_2 [/mm] schon :-/. kannst du mir das vielleicht nochmal erklären??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mi 04.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
j, also kannst du jede Zahl [mm] b*\wurzel{2}als [/mm] anfang nehmen, ein Vorgänger gibts nicht! also gilt 1. im gegensatz zu den R1 wo die a aus Z waren, und es deshalb den Vorgänger zu jeder zahl, mit der Zahl -1 gab.
jetz untersuch das 3. te Axiom.
Du denkst über meine posts zu kurz nach, ich hatte dich nach nem VORGÄNGER von [mm] b*\wurzel{2} [/mm] gefragt, du antwortest mit nem Nachfolger!
!0 min grübeln sollte man schon mal, grade zukünftige Lehrer sollten das!!
für die Schule direkt nützt dies Zeug wirklich nichts, aber euer prof, will dass ihr mit definitionen und axiomen umgehen lernt.
gruss leduart
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