Überprüfung durch L'Hospital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:52 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
| Aufgabe | Grenzwert von
a) [mm]\bruch{a^{x}-b^{x}}{x}[/mm] gegen 0
b) [mm]\bruch{x^{n}}{e^{x}}[/mm] gegen unendlich
mittels L'Hospital |
Guten Morgen!
Ist das für a) so richtig?
Laut Aufgabenstellung a,b > 0
a) [mm]\bruch{a^{x}-b^{x}}{x}[/mm]
[mm]=\bruch{x*a^{x-1}-x*b^{x-1}}{1}[/mm]
Fertig... Wenn nun x=0 -> 0/1 -> Grenzwert ist Null.
für b gilt n Element der natürlichen Zahlen.
b) [mm]\bruch{x^{n}}{e^{x}}[/mm]
[mm]= \bruch{n*x^{n-1}}{e^{x}}[/mm]
Und nun? Beides geht doch noch immer gegen unendlich oder? Wie soll sich das denn ändern?
Grüße, Sam
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Hallo,
> Grenzwert von
> a) [mm]\bruch{a^{x}-b^{x}}{x}[/mm] gegen 0
> b) [mm]\bruch{x^{n}}{e^{x}}[/mm] gegen unendlich
> mittels L'Hospital
> Guten Morgen!
>
> Ist das für a) so richtig?
> Laut Aufgabenstellung a,b > 0
>
> a) [mm]\bruch{a^{x}-b^{x}}{x}[/mm]
> [mm]=\bruch{x*a^{x-1}-x*b^{x-1}}{1}[/mm]
> Fertig... Wenn nun x=0 -> 0/1 -> Grenzwert ist Null.
Nene du musst nach x ableiten, nicht nach was du willst!
>
> für b gilt n Element der natürlichen Zahlen.
> b) [mm]\bruch{x^{n}}{e^{x}}[/mm]
> [mm]= \bruch{n*x^{n-1}}{e^{x}}[/mm]
> Und nun? Beides geht doch noch
> immer gegen unendlich oder? Wie soll sich das denn
> ändern?
Tipp: Was passiert, wenn du die l'Hospital'sche Regel sehr oft anwendest?
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo!
> > a) [mm]\bruch{a^{x}-b^{x}}{x}[/mm]
> > [mm]=\bruch{x*a^{x-1}-x*b^{x-1}}{1}[/mm]
> Nene du musst nach x ableiten, nicht nach was du willst!
Stimmt ja! Dann wäre es sicher klug vorher umzuschreiben zu [mm] x*e^a [/mm] oder?
> > b) [mm]\bruch{x^{n}}{e^{x}}[/mm]
> > [mm]= \bruch{n*x^{n-1}}{e^{x}}[/mm]
> Tipp: Was passiert, wenn du die l'Hospital'sche Regel sehr
> oft anwendest?
Im Nenner passiert überhaupt nichts. Im Zähler bekomme ich quasi einen immer größer werdenen Faktor n (also n*(n-1)*(n-2)) und der Exponent wird immer kleiner. Aber wie hilft mir das weiter?
Grüße, Sam
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
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> > > a) [mm]\bruch{a^{x}-b^{x}}{x}[/mm]
> > > [mm]=\bruch{x*a^{x-1}-x*b^{x-1}}{1}[/mm]
> > Nene du musst nach x ableiten, nicht nach was du
> willst!
>
> Stimmt ja! Dann wäre es sicher klug vorher umzuschreiben
> zu [mm]x*e^a[/mm] oder?
umschreiben wäre klug, aber bitte richtig:
[mm] $$a^x=(e^{\ln(a)})^x=e^{x*\ln(a)}\,.$$
[/mm]
> > > b) [mm]\bruch{x^{n}}{e^{x}}[/mm]
> > > [mm]= \bruch{n*x^{n-1}}{e^{x}}[/mm]
> > Tipp: Was passiert,
> wenn du die l'Hospital'sche Regel sehr
> > oft anwendest?
> Im Nenner passiert überhaupt nichts. Im Zähler bekomme
> ich quasi einen immer größer werdenen Faktor n (also
> n*(n-1)*(n-2)) und der Exponent wird immer kleiner. Aber
> wie hilft mir das weiter?
Ja, natürlich:
Wenn Du [mm] $n\,$ [/mm] Mal ableitest, steht im Zähler nur noch
[mm] $$n!*x^0=n!\,.$$
[/mm]
Mach' es, damit Dir das klarer wird, doch mal für einen Spezialfall:
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{e^x}\,.$$
[/mm]
Und schreibe halt die Faktoren hin:
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{e^x}=$$\lim_{x \to \infty} \frac{4*x^3}{e^x}=\ldots$$
[/mm]
Nach [mm] $n=4\,$ [/mm] mal de l'Hospital solltest Du im Zähler den Faktor [mm] $4!=n!\,$ [/mm] sehen...
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
> Und schreibe halt die Faktoren hin:
> [mm][/mm][mm] \lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{e^x}=[/mm][mm][/mm][mm] \lim_{x \to \infty} \frac{4*x^3}{e^x}=\ldots[/mm][mm][/mm]
Habe das jetzt ausprobiert und es leuchtet mir ein!
D.h. für meinen allgmeinen Fall lasse ich als Grenzwert dann [mm] n!/e^x [/mm] stehen, weil ich ja auch nicht weiß, wie groß das n ist?!
(Und das [mm] e^x [/mm] bekommt man ja nicht weg!)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Und schreibe halt die Faktoren hin:
> >[mm][/mm][mm] \lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{e^x}=[/mm][mm][/mm][mm] \lim_{x \to \infty} \frac{4*x^3}{e^x}=\ldots[/mm][mm][/mm]
>
> Habe das jetzt ausprobiert und es leuchtet mir ein!
> D.h. für meinen allgmeinen Fall lasse ich als Grenzwert
> dann [mm]n!/e^x[/mm] stehen, weil ich ja auch nicht weiß, wie groß
> das n ist?!
> (Und das [mm]e^x[/mm] bekommt man ja nicht weg!)
nein. Der Zähler ist doch konstant $n!$. Aber wogegen läuft denn [mm] $e^x$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty$?
[/mm]
Also nochmal:
Was ist
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}=\ldots=\lim_{x \to \infty}\frac{n!}{e^x}=:\lim_{x \to \infty}\frac{c}{e^x}=\text{?}$$
[/mm]
Dabei ist [mm] $c=c_n$ [/mm] eine, zwar von [mm] $n\,$ [/mm] abhängige, aber von $x$ unabhängige Konstante (insbesondere ist auch [mm] $n\,$ [/mm] von [mm] $x\,$ [/mm] unabhängig!). Es gilt [mm] $c=c_n:=n!\,.$
[/mm]
Mach's Dir auch nochmal am Beispiel klar:
[mm] $$\lim_{x \to \infty}\frac{x^4}{e^x}=\lim_{x \to \infty}\frac{4!}{e^x}=\lim_{x \to \infty}\frac{c}{e^x}\,.$$
[/mm]
In diesem Beispiel wäre [mm] $c=c_4=4!=4*3*2*1=24\,,$ [/mm] also
[mm] $$\lim_{x \to \infty}\frac{x^4}{e^x}=\lim_{x \to \infty}\frac{24}{e^x}=0\,.$$
[/mm]
Und was erhältst Du nun für allgemeines [mm] $n\,$?
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Also im Zähler habe ich n!, also eine konstante Zahl c.
Der Nenner bleibt auch nach n Ableitungen [mm] e^x [/mm] und damit bei x-> unendlich, geht der Nenner gegen unendlich.
Da der Zähler wahrscheinlich (?) kleiner ist als der Nenner, strebt der Bruch gegen Null.
Bzw. da nach n Ableitungen auch die Konstante verschwindet, da f'(c)=0 ist mir der Nenner eigentlich egal und der Grenzwert ist Null?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also im Zähler habe ich n!, also eine konstante Zahl c.
> Der Nenner bleibt auch nach n Ableitungen [mm]e^x[/mm] und damit
> bei x-> unendlich, geht der Nenner gegen unendlich.
>
> Da der Zähler wahrscheinlich (?) kleiner ist als der
> Nenner, strebt der Bruch gegen Null.
das ist keine sinnhafte Aussage. Bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] strebt der Nenner [mm] $e^x$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] und der Zähler bleibt konstant (beim Wert [mm] $n!\,$). [/mm] Also strebt [mm] $n!/e^x$ [/mm] gegen [mm] $0\,$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Kurz gesagt bei Betrachtung des Bruches [mm] $n!/e^x$:
[/mm]
Bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] überschreitet der Nenner (immer irgendwann) jede noch so große Zahl (er "wächst über alle Grenzen hinaus") und der Zähler bleibt fest (konstant $n!$). Daher strebt dieser Bruch dann gegen [mm] $0\,.$
[/mm]
Lass' Dir ruhig mal $x [mm] \mapsto x^4/e^x$ [/mm] und $x [mm] \mapsto 4!/e^x$, [/mm] $x [mm] \mapsto x^7/e^x$ [/mm] und $x [mm] \mapsto 7!/e^x$ [/mm] plotten (und wähle dabei die [mm] $x\,$-Achse [/mm] so, dass Du dort auch die Tausenderbereiche noch siehst).
> Bzw. da nach n Ableitungen auch die Konstante
> verschwindet, da f'(c)=0 ist mir der Nenner eigentlich egal
> und der Grenzwert ist Null?!
Nein. Du darfst auf [mm] $n!/e^x$ [/mm] nicht mehr de l'Hospital anwenden, da bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] hier dann weder ein "Fall der Art $0/0$" noch ein "Fall der Art [mm] $\infty/\infty$" [/mm] auftritt, man solche aber in der Voraussetzung für de l'Hospital braucht. (Es ist dann ein "Fall der Art [mm] $\text{konstant}/\infty$".)
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo"
> Kurz gesagt bei Betrachtung des Bruches [mm]n!/e^x[/mm]:
> Bei [mm]x \to \infty[/mm] überschreitet der Nenner (immer
> irgendwann) jede noch so große Zahl (er "wächst über
> alle Grenzen hinaus") und der Zähler bleibt fest (konstant
> [mm]n![/mm]). Daher strebt dieser Bruch dann gegen [mm]0\,.[/mm]
Der Grenzwert ist also definiiv Null, ja?
> Nein. Du darfst auf [mm]n!/e^x[/mm] nicht mehr de l'Hospital
> anwenden, da bei [mm]x \to \infty[/mm] hier dann weder ein "Fall der
> Art [mm]0/0[/mm]" noch ein "Fall der Art [mm]\infty/\infty[/mm]" auftritt,
Stimmt. Aber woher weiß man denn quasi, dass konstant/unendlich Null wird? Weil der - wie ich oben sinnlos beschrieb oder wie du es ausdrücktest - Bruch immer kleiner wird und sich somit Null annähert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo"
>
>
> > Kurz gesagt bei Betrachtung des Bruches [mm]n!/e^x[/mm]:
> > Bei [mm]x \to \infty[/mm] überschreitet der Nenner (immer
> > irgendwann) jede noch so große Zahl (er "wächst über
> > alle Grenzen hinaus") und der Zähler bleibt fest (konstant
> > [mm]n![/mm]). Daher strebt dieser Bruch dann gegen [mm]0\,.[/mm]
> Der Grenzwert ist also definiiv Null, ja?
>
> > Nein. Du darfst auf [mm]n!/e^x[/mm] nicht mehr de l'Hospital
> > anwenden, da bei [mm]x \to \infty[/mm] hier dann weder ein "Fall der
> > Art [mm]0/0[/mm]" noch ein "Fall der Art [mm]\infty/\infty[/mm]" auftritt,
> Stimmt. Aber woher weiß man denn quasi, dass
> konstant/unendlich Null wird? Weil der - wie ich oben
> sinnlos beschrieb oder wie du es ausdrücktest - Bruch
> immer kleiner wird und sich somit Null annähert?
ja, die letzte Ausdrucksweise ist okay: Der "Bruch wird mit wachsendem [mm] $x\,$ [/mm] immer kleiner" (das ist was anderes, als nur zu sagen, dass der Nenner größer ist als der Zähler: Denn auch bei konstanten Brüchen kann der Nenner größer als der Zähler sein, Beispiel: [mm] $1/5\,$).
[/mm]
Ein wenig wichtig dabei: Das "immer kleiner werden" ist als "betragsmäßiges immer kleiner werden" anzusehen und gemeint (d.h. genauer meint man eigentlich, dass [mm] $|n!/e^x|$ [/mm] immer kleiner wird, was hieraber wegen [mm] $n!/e^x [/mm] > 0$ keinen Unterschied macht). Denn $-x$ würde auch mit wachsendem [mm] $x\,$ [/mm] immer kleiner werden...
Formal wäre zu zeigen:
Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $x_0=x_0(\varepsilon) \in \IR$ [/mm] so, dass für alle $x > [mm] x_0$ [/mm] gilt:
[mm] $$|n!/e^x| [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$$
[/mm]
Du könntest auch so argumentieren (eigentlich müsste man da aber schon etwas mathematisch beweisen):
Wegen [mm] $e^x \to \infty$ [/mm] ($x [mm] \to \infty$) [/mm] folgt [mm] $1/e^{x} \to [/mm] 0$ ($x [mm] \to \infty$). [/mm] (Diese Folgerung wäre eigentlich (kurz) zu beweisen.)
Ist nun [mm] $x_0=\pm \infty$ [/mm] oder [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] und sind $g,c$ reelle Zahlen, so gilt die Folgerung:
$$f(x) [mm] \underset{x \to x_0}{\longrightarrow} [/mm] g$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] c*f(x) [mm] \underset{x \to x_0}{\longrightarrow} c*g\,.$$
[/mm]
Also:
Aus [mm] $1/e^x \underset{x \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] 0$ folgt
[mm] $$n!/e^x=n!*1/e^x \underset{x \to \infty}{\longrightarrow}n!*0=0\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 11:18 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
Wende l'Hospital noch mal an! Dann hast du [mm] \bruch{c'}{(e^x)'}=\bruch{0}{e^x}. [/mm] Ein Hoch auf die Formalismen!
lg
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:38 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Wende l'Hospital noch mal an! Dann hast du
> [mm]\bruch{c'}{(e^x)'}=\bruch{0}{e^x}.[/mm]
die Voraussetzungen zur Anwendung von de l'Hospital auf [mm] $\frac{n!}{e^x}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{c}{e^x}$ [/mm] sind - wie bereits oben schon erwähnt - nicht erfüllt. Es handelt sich hier weder um einen "Fall der Art $0/0$" noch um einen "Fall der Art [mm] $\infty/\infty$".
[/mm]
> Ein Hoch auf die Formalismen!
Es ist wichtig, die Antworten genau mitzulesen, bevor man solch eine derart falsche Antwort gibt. Zumal ich oben schonmal extra darauf hingewiesen habe - eben mit der Befürchtung, dass jmd. das so salopp macht - dass man das hier nicht machen darf.
Bevor man de l'Hospital anwendet, ist zu prüfen, ob die Voraussetzungen zur Anwendung geben sind.
Bitte mach' Dir das auch selbst nochmal klar, dass Deine Antwort hier unsinnig ist!
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
ja ich habe Unsinn geschrieben- für [mm] f(x)=\bruch{x}{cos(x)}
[/mm]
gilt dies nicht, vor allem bei [mm] x\to0.
[/mm]
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo,
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> ja ich habe Unsinn geschrieben- für
> [mm]f(x)=\bruch{x}{cos(x)}[/mm]
> gilt dies nicht, vor allem bei [mm]x\to0.[/mm]
?? Was gilt denn da nicht? Auch dort darfst Du de l'Hospital nicht anwenden, da die Voraussetzungen nicht erfüllt sind.
Vielleicht meinst Du, dass man bei [mm] $x/\sin(x)$ [/mm] ($x [mm] \to [/mm] 0$) de l'Hospital anwenden kann. Das ist in der Tat richtig. Das macht aber (sofern ich gerade nichts übersehe) auch wirklich nur dann Sinn, wenn $x [mm] \to [/mm] 0$ laufen gelassen wird.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Grenzwert von
> a) [mm]\bruch{a^{x}-b^{x}}{x}[/mm] gegen 0
> b) [mm]\bruch{x^{n}}{e^{x}}[/mm] gegen unendlich
> mittels L'Hospital
> Guten Morgen!
Du verwechselst da was:
Es gilt [mm] $(x^n)\,\!'=n*x^{n-1}$, [/mm] aber es gilt nicht [mm] $(a^x)\,\!'=x*a^{x-1}\,.$ [/mm] Vielmehr musst Du [mm] $a^x=e^{x*\ln(a)}$ [/mm] nach der Kettenregel ableiten und erhältst
[mm] $$(a^x)\,\!'=e^{x*\ln(a)}*\ln(a)=\ln(a)*a^x\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Sam_Nat |
Hallo Marcel,
da hast du Recht.
> Du verwechselst da was:
> Es gilt [mm](x^n)\,\!'=n*x^{n-1}[/mm], aber es gilt nicht
> [mm](a^x)\,\!'=x*a^{x-1}\,.[/mm] Vielmehr musst Du [mm]a^x=e^{x*\ln(a)}[/mm]
> nach der Kettenregel ableiten und erhältst
> [mm](a^x)\,\!'=e^{x*\ln(a)}*\ln(a)=\ln(a)*a^x\,.[/mm]
Das heißt doch, dass ich dann als Grenzwert folgendes habe:
[mm]=\ln(a)*a^x\[/mm]-[mm]\ln(b)*b^x\[/mm]
Und wen [mm] a^x [/mm] nun 1 wird dann steht da ja nur noch ln(a)-ln(b) und das ist mein Grenzwert. Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> da hast du Recht.
> > Du verwechselst da was:
> > Es gilt [mm](x^n)\,\!'=n*x^{n-1}[/mm], aber es gilt nicht
> > [mm](a^x)\,\!'=x*a^{x-1}\,.[/mm] Vielmehr musst Du [mm]a^x=e^{x*\ln(a)}[/mm]
> > nach der Kettenregel ableiten und erhältst
> > [mm](a^x)\,\!'=e^{x*\ln(a)}*\ln(a)=\ln(a)*a^x\,.[/mm]
>
> Das heißt doch, dass ich dann als Grenzwert folgendes
> habe:
> [mm]=\ln(a)*a^x\[/mm]-[mm]\ln(b)*b^x\[/mm]
> Und wen [mm]a^x[/mm] nun 1 wird dann steht da ja nur noch
> ln(a)-ln(b) und das ist mein Grenzwert. Richtig?
ja. Ich schreibe es mal ein wenig ausführlicher auf:
[mm] $$\lim_{x \to 0}\frac{a^x-b^x}{x}=\lim_{x \to 0}(a^x*\ln(a)-b^x*\ln(b))=\ln(a)*\lim_{x \to 0}a^x-\ln(b)*\lim_{x \to 0}b^x=\ln(a)*1-\ln(b)*1=\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)\,.$$
[/mm]
Eigentlich sollte man es eher von rechts nach links lesen. Das erste Gleichheitszeichen links begründet sich mit de l'Hospital.
Zur Gleichungskette:
Man benutzt dabei, neben Rechenregeln bzgl. Konvergenz, insbesondere die (Rechts-)Stetigkeit von $x [mm] \mapsto a^x$ [/mm] bzw. $x [mm] \mapsto b^x$ [/mm] (an der Stelle [mm] $x_0=0$).
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Mo 24.05.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo
> ja. Ich schreibe es mal ein wenig ausführlicher auf:
> [mm]\lim_{x \to 0}\frac{a^x-b^x}{x}=\lim_{x \to 0}(a^x*\ln(a)-b^x*\ln(b))=\ln(a)*\lim_{x \to 0}a^x-\ln(b)*\lim_{x \to 0}b^x=\ln(a)*1-\ln(b)*1=\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)\,.[/mm]
>
Die Frage, die mir noch bleibt, ist: Was tut man denn hier, wenn a oder b < 0 wäre, für den Fall wäre ln(a) bzw. ln(b) ja gar nicht definiert... Der Grenzwert müsste aber rein intuitiv dennoch existieren und 0 sein, oder...?
Vielen Dank schon mal im voraus.
Viele rüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo ms2008de!
Die Potenzfunktion $f(x) \ = \ [mm] a^x$ [/mm] ist immer nur für positive Basen $a \ > \ 0$ definiert.
Gruß
Loddar
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