Übertragung ins Komplexe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Di 18.11.2008 | | Autor: | Pedda |
Hallo,
ich würde gerne die Funktion [mm]w(z) = \wurzel{1+x^2} [/mm] ins Komplexe fortsetzen. Mich verwirrt ein wenig das z und x, da x normalerweise immer den Realteil beschrieb, aber ich denke das z ist einfach schonmal als Vorgriff? Nun ja, die Quadratwurzel bezeichnet auf jeden Fall der Hauptzweig der Wurzel und ich soll sagen auf welchem Gebiet die Funktion durch eine holomorphe Funktion definiert ist, das Bild und die Ableitung angeben (auf diesem Gebiet).
Meine Überlegungen sind die folgenden:
Der Hauptzweig der Quadratwurzel ist das Gebiet mit einem Imaginärteil größer 0. Durch das [mm]1+x^2[/mm] (oder [mm]1+z^2[/mm] ?) wird wahrscheinlich das Gebiet noch eingeschränkt, aber ich bin mir nicht sicher wie ich nun vorgehen soll um die Einschränkung genauer zu beschreiben.
Die Ableitung wird da auf das Gebiet beschränkt und holomorph einfach die "normale" Ableitung, also [mm]\bruch{2x}{\wurzel{1+x^2}}[/mm] sein, oder?
Bei dem Bild bin ich mir wieder unsicher. Ich hätte jetzt die Abbildung in eine von [mm]\IR^2[/mm] nach [mm]\IR^2[/mm] umgeschrieben und es so probiert.
Für Hilfe wäre ich euch sehr dankbar,
tschö, Peter
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ich würde gerne die Funktion [mm]w(z) = \wurzel{1+x^2}[/mm] ins
> Komplexe fortsetzen. Mich verwirrt ein wenig das z und x,
> da x normalerweise immer den Realteil beschrieb, aber ich
> denke das z ist einfach schonmal als Vorgriff?
Es ist wohl die Fortsetzung von
$\ [mm] w(x)=\wurzel{1+x^2}\qquad(x\in\IR)$
[/mm]
ins Komplexe gemeint. Nachher nennt man die Variable z, also
$\ [mm] w(z)=\wurzel{1+z^2}\qquad(z\in D_w\subset\IC)$
[/mm]
> Nun ja, die
> Quadratwurzel bezeichnet auf jeden Fall den Hauptzweig der
> Wurzel
Ich nehme einmal an, dass du als "Hauptwert" der
Wurzel aus einer komplexen Zahl a den Wert [mm] w\in\IC
[/mm]
meinst mit [mm] w^2=a [/mm] und [mm] Re(w)\ge [/mm] 0 (und falls Re(w)=0,
soll [mm] Im(w)\ge [/mm] 0 sein).
> und ich soll sagen auf welchem Gebiet die Funktion
> durch eine holomorphe Funktion definiert ist, das Bild und
> die Ableitung angeben (auf diesem Gebiet).
>
> Meine Überlegungen sind die folgenden:
>
> Der Hauptzweig der Quadratwurzel ist das Gebiet mit einem
> Imaginärteil größer 0.
Na gut, man kann das auch so machen; reine
Definitionssache.
> Durch das [mm]1+x^2[/mm] (oder [mm]1+z^2[/mm] ?)
im Komplexen würde ich jetzt bei der Variablen z bleiben
> wird wahrscheinlich das Gebiet noch eingeschränkt,
> aber ich bin mir nicht sicher wie ich nun vorgehen soll
> um die Einschränkung genauer zu beschreiben.
[mm] f:z\mapsto f(z)=1+z^2 [/mm] ist grundsätzlich einmal für
jedes [mm] z\in\IC [/mm] eindeutig definiert und ableitbar.
> Die Ableitung wird da auf das Gebiet beschränkt und
> holomorph einfach die "normale" Ableitung, also
> [mm]\bruch{\red{2}x}{\wurzel{1+x^2}}[/mm] sein, oder?
$\ [mm] w'(z)=\bruch{z}{\wurzel{1+z^2}}\qquad (1+z^2\not= [/mm] 0)$
Singularitäten (wo w'(z) nicht existiert) ergeben sich,
falls [mm] z^2=-1, [/mm] also für $\ [mm] z=\pm [/mm] i$
Nach deiner Definition des "Hauptwertes" der Wurzel ist
die Wurzelfunktion längs dem positiven Teil der reellen
Achse unstetig (z.B. [mm] \wurzel{4}=\red{+}2, [/mm] aber [mm] \wurzel{4-0.01* i}=\red{-}2+0.0025 [/mm] i)
Um für w einen Bereich D zu bekommen, in dem w
holomorph ist, musst du also wohl nebst den zwei
singulären Punkten auch noch jene z ausschliessen,
für welche [mm] z^2+1 [/mm] eine positive reelle Zahl ergibt.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Pedda |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort, das hat mir schonmal sehr geholfen. Bei der Ableitung hatte ich mich nur kurz verschrieben und ich habe heute gehört, dass schon von Anfang an ein z statt des x dort stehen sollte. Kannst du mir das mit der Unstetigkeit bitte noch einmal erklären? Ich habe noch nicht verstanden, wie man das formal herleitet. Für den Wertebereich habe ich folgendes gemacht:
[mm] [mm] \sqrt{1+z^2} [/mm] = [mm] e^{\frac{1}{2}ln (1+z^2)}[/mm] [mm]
Nun nehmen wir ja +/- i heraus, also fällt schonmal 0 weg, aber das wäre ja raus gewesen, also die ganze imaginäre Achse außer zwischen -i und i ist nicht im Bildbereich wenn ich das richtig verstanden habe, da der Logarithmus für negative Zahlen/0 nicht definiert ist.
Für den Bildbereich würde ich jetzt erstmal generell annehmen ganz C. Wie schränke ich das jetzt mit den Bedingungen ein?
Grüße, Peter
|
|
|
| |
|
Hallo Peter
> Kannst du
> mir das mit der Unstetigkeit bitte noch einmal erklären?
> Ich habe noch nicht verstanden, wie man das formal
> herleitet.
Die Quadratfunktion [mm] z\mapsto z^2 [/mm] bildet die obere Halbebene
(positiver Imaginärteil) auf [mm] \IC\ \backslash\ \IR_0^+ [/mm] ab. Die Umkehrung
dieser Abbildung ist stetig. Man kann sie also als
(eindeutige, stetige) "Wurzelfunktion" verwenden.
Versucht man aber, den "Schlitz" [mm] \IR_0^+ [/mm] in ihrem
Definitionsbereich noch zu schliessen, indem man
die reellen Quadratwurzeln [mm] z=\wurzel{a} [/mm] mit [mm] a\ge [/mm] 0 dazu nimmt,
wird die entstehende (zwar für alle [mm] z\in\IC [/mm] eindeutig
definierte) Wurzelfunktion längs der positiven reellen
Achse unstetig, denn für a>0 und [mm] \varepsilon>0 [/mm] ist
[mm] $\wurzel{a-i*\varepsilon}=\wurzel[4]{a^2+\varepsilon^2}*cis(\pi-\bruch{1}{2}*arctan(\bruch{\varepsilon}{a}))$
[/mm]
und [mm] $\limes_{\varepsilon\downarrow 0}\wurzel{a-i*\varepsilon}=-\wurzel{|a|}\ \red{\not=}\ \wurzel{a}=\wurzel{|a|}$
[/mm]
> Für den Wertebereich
(Definitionsbereich ?)
> habe ich folgendes gemacht:
> [mm]\sqrt{1+z^2}=e^{\frac{1}{2}ln (1+z^2)}[/mm]
> Nun nehmen wir ja +/- i heraus,
(aus dem Definitionsbereich !)
> also fällt schonmal 0 weg,
(aus dem Bildbereich)
> aber das wäre ja raus gewesen, also die ganze imaginäre
> Achse außer zwischen -i und i ist nicht im Bildbereich
(???)
> wenn ich das richtig verstanden habe, da der Logarithmus
> für negative Zahlen/0 nicht definiert ist.
> Für den Bildbereich würde ich jetzt erstmal generell
> annehmen ganz C. Wie schränke ich das jetzt mit
> den Bedingungen ein?
Man kann die Abbildung w in Teilfunktionen auflösen:
1.) [mm] q=z^2
[/mm]
2.) [mm] v=q+1=z^2+1
[/mm]
3.) [mm] w=\wurzel{v}=\wurzel{z^2+1}
[/mm]
Fangen wir mit der Betrachtung der Bereiche hinten an:
[mm] $\IB_w=\ [/mm] obere\ [mm] Halbebene=\{c\in\IC\ |\ Im(c)>0\}$
[/mm]
(wir können nicht ganz [mm] \IC [/mm] haben wegen der eindeutigen
Wurzelfunktion)
[mm] $\IB_v=\ [/mm] von\ \ 0\ \ an\ nach\ rechts\ geschlitzte\ Ebene\ =\ [mm] \IC\ \backslash\ \IR_0^+$
[/mm]
[mm] $\IB_q=\ [/mm] von\ -1\ \ an\ nach\ rechts\ geschlitzte\ Ebene\ =\ [mm] \IC\ \backslash\ [-1;\infty)$
[/mm]
Für z kommen also nur jene komplexen Zahlen
nicht in Frage, deren Quadrat [mm] z^2 [/mm] reell und [mm] \ge [/mm] -1 ist.
Das sind einmal alle reellen Zahlen [mm] z\in \IR [/mm] (mit [mm] z^2\ge [/mm] 0)
und dazu alle rein imaginären Zahlen mit Betrag [mm] 0<|z|\le [/mm] 1.
Damit wird
$\ [mm] D_w=\IB_z=\IC\ \backslash\ (\IR\cup\ [/mm] i*[-1;1])$
Die "Schlitze" trennen [mm] \IC [/mm] in zwei voneinander
getrennte Teilmengen. Das Bild jeder einzelnen
dieser beiden Teilmengen ist schon der gesamte
Bildbereich [mm] \IB_w [/mm] (beachte, dass w(-z)=w(z) !).
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Nachbemerkung:
Der ursprüngliche Wunsch Peters war:
"ich würde gerne die Funktion [mm]\ w(x) = \wurzel{1+x^2} [/mm]
ins Komplexe fortsetzen".
Mit der Definition des "Hauptwertes" der Wurzel
als Zahl mit positivem Imaginärteil haben wir uns
nun aber eingehandelt, dass die damit konstruierte
Funktion w: [mm] z\mapsto w(z)=\wurzel{1+z^2} [/mm] , um überhaupt stetig
zu sein, so eingeschränkt werden muss, dass sie
ausgerechnet für alle reellen (und dazu einige
imaginäre) Zahlen nicht definiert ist.
Kann man unter diesen Umständen, d.h. wenn
die ursprüngliche Funktion komplett ausradiert
wird, noch von einer "Fortsetzung" der ursprünglich
nur auf [mm] \IR [/mm] definierten Funktion ins Komplexe sprechen ?
Um diese doch ziemlich unschöne Konsequenz zu
vermeiden, könnte man aber die Wurzelfunktion
in [mm] \IC [/mm] anders definieren, nämlich so, wie ich in
meiner ersten Antwort angeregt habe.
Al-Chw.
|
|
|
|
