Übungsaufgabe < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Sa 12.09.2009 | | Autor: | xPae |
| Aufgabe | Lösen Sie DGL mit Hilfe der Laplace Transformation:
[mm] y''+y'=e^{-2*t}
[/mm]
y(0)=0
y'(0)=1
|
Hallo,
weiss leider nicht, wie man so ein schönes geschwungenes "L" macht.
[mm] s^{2}*L(y(t))+s*y(0)-y'(0)+s*L(y(t))-y(0)=\bruch{1}{s+2}
[/mm]
[mm] L(y(t))*(s^{2}+s)=\bruch{1}{s+2}+1
[/mm]
[mm] y(t)=L^{-1}(\bruch{1}{s^(2)+s}(\bruch{1}{s+2}+1))
[/mm]
Wie muss ich nun weitervorgehen? Partialbruchzerlegung, oder habe ich vorher schon einen Fehler gemacht?
lg xPae
|
|
| |
|
Hallo xPae,
> Lösen Sie DGL mit Hilfe der Laplace Transformation:
>
> [mm]y''+y'=e^{-2*t}[/mm]
>
> y(0)=0
> y'(0)=1
>
> Hallo,
>
> weiss leider nicht, wie man so ein schönes geschwungenes
> "L" macht.
>
> [mm]s^{2}*L(y(t))+s*y(0)-y'(0)+s*L(y(t))-y(0)=\bruch{1}{s+2}[/mm]
> [mm]L(y(t))*(s^{2}+s)=\bruch{1}{s+2}+1[/mm]
>
> [mm]y(t)=L^{-1}(\bruch{1}{s^(2)+s}(\bruch{1}{s+2}+1))[/mm]
>
> Wie muss ich nun weitervorgehen? Partialbruchzerlegung,
> oder habe ich vorher schon einen Fehler gemacht?
>
Bis hierhin stimmt alles.
Jetzt ist die Partialbruchzerlegung von
[mm]\bruch{1}{\left(s^{2}+s\right)}(\bruch{1}{s+2}+1)[/mm]
das Mittel der Wahl.
>
> lg xPae
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Sa 12.09.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo ja das hatte ich mir fast gedacht :)
[mm] \bruch{1}{s^{3}+3*s^{2}+2*s} [/mm]
Nullstellen: 0,-2,-1
Null ist aber nicht im Definitionsbereich.
Also
[mm] \bruch{1}{s^{3}+3*s^{2}+2*s}=\bruch{A_{1}}{s+2}+\bruch{A_{2}}{s+1}
[/mm]
[mm] 1=A_{1}*(s+1)+A_{2}*(s+2)
[/mm]
[mm] 1=(A_{1}+2*A_{2})+s*(A_{1}+A_{2})
[/mm]
=>
[mm] (A_{1}+2*A_{2})=1
[/mm]
[mm] A_{1}+A_{2}=0
[/mm]
-> [mm] A_{1}=-A_{2}
[/mm]
=> [mm] A_{2}=1 [/mm]
=> [mm] A_{1}=-1 [/mm]
wäre das so richtig?
Für [mm] \bruch{1}{s^{2}+s} [/mm] sollte, wenn das oben richtig ist, es keine Fragen mehr geben.
Lg xPae
|
|
|
| |
|
Hallo xPae,
> Hallo ja das hatte ich mir fast gedacht :)
>
>
> [mm]\bruch{1}{s^{3}+3*s^{2}+2*s}[/mm]
>
> Nullstellen: 0,-2,-1
>
> Null ist aber nicht im Definitionsbereich.
Wie kommst Du darauf?
>
> Also
>
> [mm]\bruch{1}{s^{3}+3*s^{2}+2*s}=\bruch{A_{1}}{s+2}+\bruch{A_{2}}{s+1}[/mm]
Dieser Ansatz stimmt schon nicht.
>
> [mm]1=A_{1}*(s+1)+A_{2}*(s+2)[/mm]
>
> [mm]1=(A_{1}+2*A_{2})+s*(A_{1}+A_{2})[/mm]
>
> =>
> [mm](A_{1}+2*A_{2})=1[/mm]
> [mm]A_{1}+A_{2}=0[/mm]
> -> [mm]A_{1}=-A_{2}[/mm]
>
> => [mm]A_{2}=1[/mm]
> => [mm]A_{1}=-1[/mm]
>
> wäre das so richtig?
>
> Für [mm]\bruch{1}{s^{2}+s}[/mm] sollte, wenn das oben richtig ist,
> es keine Fragen mehr geben.
>
> Lg xPae
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Sa 12.09.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo Mathepower,
ja du hast recht,dass Null nicht im Def-bereich ist, ist natürlich quatsch.
Aber wie ist dann der Ansatz für die Zerlegung?
lg xPae
|
|
|
| |
|
Hallo xPae,
> Hallo Mathepower,
>
>
> ja du hast recht,dass Null nicht im Def-bereich ist, ist
> natürlich quatsch.
> Aber wie ist dann der Ansatz für die Zerlegung?
>
>
[mm] \bruch{1}{s^{2}+s}*\left(\bruch{1}{s+2}+1\right)=\bruch{A_{0}}{s}+\bruch{A_{1}}{s+2}+\bruch{A_{2}}{s+1}[/mm]
Die linke Seite mußt Du dann noch auf den Hauptnenner bringen,
damit Du die Koeffizienten links und rechts miteinander vergleichen kannst.
> lg xPae
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Sa 12.09.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo,
ah okay,
kann ich denn nicht erst ausklammern und dann seperat [mm] \bruch{1}{s^{2}+s} [/mm] und [mm] \bruch{1}{(s^{2}+s)*(s+2)} [/mm] partial zerlegen?
Das hatte ich vorher gemacht und kam auf mein Ergebnis.
lg und danke
xPae
|
|
|
| |
|
Hallo xPae,
> Hallo,
>
>
>
> ah okay,
>
> kann ich denn nicht erst ausklammern und dann seperat
> [mm]\bruch{1}{s^{2}+s}[/mm] und [mm]\bruch{1}{(s^{2}+s)*(s+2)}[/mm] partial
> zerlegen?
Sicher, das kannst Du auch machen.
> Das hatte ich vorher gemacht und kam auf mein Ergebnis.
>
>
>
> lg und danke
>
> xPae
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Sa 26.09.2009 | | Autor: | xPae |
hat sich erledigt
|
|
|
|
