Übungsaufgabe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Fr 04.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
komme mit dem Thema eigentlich gut klar, doch mit den Laufvariablen als Exponent habe ich noch meine Probleme.
Es geht um die Summe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{k}{k+1})^{k^2}. [/mm] Habe auch testweise mal [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{k}{k+1})^{k} [/mm] probiert und bin zu keinem Ergebnis gekommen.
Ich denke, es ist die gleiche Überlegung anzustellen, die beweist, dass die Folge [mm] (1+1/n)^n [/mm] monoton wachsend ist - aber die Überlegung fällt mir gerade einfach nicht ein!
Zur Veranschaulichung habe ich aus dem Reihenglied mal [mm] (1-\bruch{1}{k+1})^{k^2} [/mm] gemacht. Nun versagt Quotientenkriterium ebenso wie Wurzelkriterium - Grenzwerte gehen jeweils gegen 1.
Ich vermute auf Konvergenz, finde aber keine Abschätzung... wie schätzt man eigentlich Differenzen mit 1- ab?
Danke!
|
|
| |
|
Hallo Oliver,
> Hallo,
>
> komme mit dem Thema eigentlich gut klar, doch mit den
> Laufvariablen als Exponent habe ich noch meine Probleme.
>
> Es geht um die Summe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{k}{k+1})^{k^2}.[/mm] Habe auch
> testweise mal [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{k}{k+1})^{k}[/mm]
> probiert und bin zu keinem Ergebnis gekommen.
Wieso das nicht?
Es ist doch [mm] $\left(\left(\frac{k}{k+1}\right)^k\right)_{k\in\IN}$ [/mm] keine Nullfolge, daher ist das Trivialkriterium verletzt und [mm] $\sum\left(\frac{k}{k+1}\right)^k$ [/mm] ist divergent
>
> Ich denke, es ist die gleiche Überlegung anzustellen, die
> beweist, dass die Folge [mm](1+1/n)^n[/mm] monoton wachsend ist -
> aber die Überlegung fällt mir gerade einfach nicht ein!
>
> Zur Veranschaulichung habe ich aus dem Reihenglied mal
> [mm](1-\bruch{1}{k+1})^{k^2}[/mm] gemacht. Nun versagt
> Quotientenkriterium ebenso wie Wurzelkriterium - Grenzwerte
> gehen jeweils gegen 1.
Das stimmt doch nicht ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Die Reihe lautet [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k^2}$
[/mm]
Gem. WK ist zu berechnen [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k^2}\right|}=\limsup\limits_{k\to\infty}\left(\frac{k}{k+1}\right)^k=\limsup\limits_{k\to\infty}\left(\frac{k+1-1}{k+1}\right)^k=\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{-1}{k+1}\right)^k=e^{-1}<1$
[/mm]
Damit ist die Reihe absolut konvergent ...
>
> Ich vermute auf Konvergenz, finde aber keine
> Abschätzung... wie schätzt man eigentlich Differenzen mit
> 1- ab?
>
> Danke!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:29 Sa 05.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Exakt nach dieser Abschätzung (->1/e) hatte ich gesucht - ich bin davon ausgegangen, dass [mm] (1-1/(k+1))^k [/mm] gegen 1 gehen würde, wusste aber, dass es falsch ist und es da irgendeine Abschätzung gab.
Kannst du vielleicht noch kurz darlegen, warum [mm] (\bruch{k}{k+1})^{k} [/mm] keine Nullfolge ist, [mm] (\bruch{k}{k+1})^{k^2} [/mm] allerdings wohl?
Warum ist die Folge [mm] (1+\bruch{1}{k})^{k} [/mm] monoton steigend bzw. wie kann ich es beweisen? Grenzwert ist e oder? Bei [mm] (1+\bruch{a}{k})^{k} [/mm] wäre es dann [mm] e^a [/mm] oder wie?
Wenn ich das mit den Potenzen nun nämlich auch noch drin habe, bin ich schon sehr froh für die Klausur nächste Woche :)
Danke!
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Exakt nach dieser Abschätzung (->1/e) hatte ich gesucht -
> ich bin davon ausgegangen, dass [mm](1-1/(k+1))^k[/mm] gegen 1 gehen
> würde, wusste aber, dass es falsch ist und es da
> irgendeine Abschätzung gab.
>
> Kannst du vielleicht noch kurz darlegen, warum
> [mm](\bruch{k}{k+1})^{k}[/mm] keine Nullfolge ist,
Du kannst das schreiben als [mm] $\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^k=\frac{\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}}{1-\frac{1}{k+1}}$
[/mm]
Und das strebt - nach dem, was du unten richtig schreibst mit $n:=k+1$ gegen [mm] $\frac{e^{-1}}{1}=\frac{1}{e} [/mm] \ \ [mm] \text{für} [/mm] \ [mm] k\to\infty [/mm] \ \ [mm] \text{bzw.} [/mm] \ [mm] n\to\infty$
[/mm]
> [mm](\bruch{k}{k+1})^{k^2}[/mm] allerdings wohl?
kann ich gerade nicht ...
>
> Warum ist die Folge [mm](1+\bruch{1}{k})^{k}[/mm] monoton steigend
> bzw. wie kann ich es beweisen?
Nun, zeige wie üblich [mm] $\frac{a_{k+1}}{a_k}>1$
[/mm]
Benutze dabei die Bernoulli-Ungleichung
Beweise dazu stehen hier zu Hauf im Forum - suche danach ...
Oder besser: probier's selber, es ist nicht allzu schwierig ...
> Grenzwert ist e oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei [mm](1+\bruch{a}{k})^{k}[/mm] wäre es dann [mm]e^a[/mm] oder wie?
Ganz recht! Siehe auch weiter oben
>
> Wenn ich das mit den Potenzen nun nämlich auch noch drin
> habe, bin ich schon sehr froh für die Klausur nächste
> Woche :)
Ich drücke die Daumen ...
>
> Danke!
Gruß und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:07 Sa 05.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Vielen Dank!
Nun sollte ich alles hinbekommen, bei Problemen melde ich mich nochmal 
|
|
|
| |
|
Hallo Oli,
> Kannst du vielleicht noch kurz darlegen, warum
> [mm](\bruch{k}{k+1})^{k}[/mm] keine Nullfolge ist,
> [mm](\bruch{k}{k+1})^{k^2}[/mm] allerdings wohl?
Da [mm] \limes_{k\to\infty}\left(\bruch{k}{k+1}\right)^k =e^{-1} [/mm] ist,
ist [mm] \limes_{k\to\infty}\left(\bruch{k}{k+1}\right)^{k^2}=\limes_{k\to\infty}\left(\left(\bruch{k}{k+1}\right)^k\right)^k=\limes_{k\to\infty}\left(\limes_{k\to\infty}\left(\bruch{k}{k+1}\right)^k\right)^k=\limes_{k\to\infty}\left(e^{-1}\right)^k=??
[/mm]
Ganz sauber ist das nicht, wie Du wahrscheinlich weißt, aber im Prinzip funktioniert die saubere Bestimmung genauso, wenn Du wieder herausgefunden hast, wie man den ersten Grenzwert bestimmt.
lg
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Sa 05.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Gut, dankeschön!
Ist das ok, wenn ich nach und nach einige Rechnungen von mir zur Korrektur einstelle?
Hier war ich mir unsicher:
Für welche x ist [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{k^{kx}}{k!}x^k [/mm] konvergent, für welche divergent?
Mit Quotientenkriterium erhalte ich [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|x*(k+1)^{x-1}*\{(1+\bruch{1}{k})^k\}^x| [/mm] = [mm] |x|e^{x}*\limes_{k\rightarrow\infty}(k+1)^{x-1} [/mm] = [mm] \begin{cases} \infty, & \mbox{für } x>1 \\ e, & \mbox{für } x=1 \\ 0, & \mbox{für } x<1 \end{cases}
[/mm]
Somit Divergenz für [mm] x\ge{1} [/mm] und Konvergenz für [mm]x<1[/mm], da für diese jeweils der Quotient gegen kleiner bzw. größer 1 strebt.
Das Ergebnis ist korrekt - aber ist auch der Weg dorthin "lückenlos"?
Wie würde es mit Wurzelkriterium gehen? Bin an der Abschätzung von [mm] \wurzel[k]{k!} [/mm] jeweils nach unten und oben gescheitert...
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 So 06.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Oli!
> Wie würde es mit Wurzelkriterium gehen? Bin an der
> Abschätzung von [mm]\wurzel[k]{k!}[/mm] jeweils nach unten und oben
> gescheitert...
Hierfür kann man z.B. die ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel verwenden.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 So 06.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Na gut, die hatten wir leider noch nicht.
Was sagst du denn zu meiner Rechnung? Vielleicht sollte ich lieber ein neues Thema eröffnen, hier geht sie glaube ich unter.
Danke!
|
|
|
| |
|
Hallo Oliver,
> Gut, dankeschön!
>
> Ist das ok, wenn ich nach und nach einige Rechnungen von
> mir zur Korrektur einstelle?
>
> Hier war ich mir unsicher:
> Für welche x ist [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{k^{kx}}{k!}x^k[/mm]
> konvergent, für welche divergent?
>
> Mit Quotientenkriterium erhalte ich
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|x*(k+1)^{x-1}*\{(1+\bruch{1}{k})^k\}^x|[/mm]
> = [mm]|x|e^{x}*\limes_{k\rightarrow\infty}(k+1)^{x-1}[/mm] =
> [mm]\begin{cases} \infty, & \mbox{für } x>1 \\ e, & \mbox{für } x=1 \\ 0, & \mbox{für } x<1 \end{cases}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das sieht richtig aus, ich habe dasselbe heraus!
>
> Somit Divergenz für [mm]x\ge{1}[/mm] und Konvergenz für [mm]x<1[/mm], da
> für diese jeweils der Quotient gegen kleiner bzw. größer
> 1 strebt.
So sehe ich das auch!
>
> Das Ergebnis ist korrekt - aber ist auch der Weg dorthin
> "lückenlos"?
>
> Wie würde es mit Wurzelkriterium gehen? Bin an der
> Abschätzung von [mm]\wurzel[k]{k!}[/mm] jeweils nach unten und oben
> gescheitert...
Schaue mal in dieses Skript - ist öffentlich zugänglich ohne Passwortabfrage o.ä.
Dort ist unter 8.2.1 Exponentialreihe ein Beweis für [mm] $\sqrt[n]{\frac{1}{n!}}\longrightarrow [/mm] 0$ für [mm] $n\to\infty$, [/mm] also [mm] $\sqrt[n]{n!}\longrightarrow \infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
>
> Danke!
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:04 So 06.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Hi,
vielen Dank, das freut mich ja :)
Nun zum Wurzelkriterium. Mit einer Abschätzung gegen Unendlich werden wir hier glaube ich nicht weit kommen.
Es geht ja um [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{xk^x}{\wurzel[k]{k!}}=x*\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^x}{\wurzel[k]{k!}}
[/mm]
Wenn wir nun erstmal x=1 setzen, erhalten wir [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k}{\wurzel[k]{k!}}\ge \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k}{\wurzel[k]{k^k}}=1 [/mm] und somit Divergenz für x=1.
Für x>1 schätzen wir gegen die divergente x=1-Reihe ab und erhalten so erneut Divergenz.
Jetzt gilt es aber noch zu zeigen, dass [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^x}{\wurzel[k]{k!}}<1 [/mm] für x<1. Allerdings kann ich hier genauso argumentieren wie bei x=1 und würde auf Divergenz kommen.
Wo liegt hier das Problem?
Danke!
Edit:
Habe mal plotten lassen und festgestellt, dass je näher das x an 1 ist, desto später der Wert beim Wurzelkriterium erst kleiner als 1 ist. Irgendwann erreicht er aber den Punkt, ab dem alle Werte kleiner als 1 sind. Wie soll ich das nun nachweisen? Bin schon bis kleiner gleich [mm] k^{x-1/k} [/mm] gekommen, aber selbst das ist ja noch divergent, also hilft es mir nicht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 08.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
