Übungsserie 4, Aufgabe 3 < VK 59: LinAlg < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | IV-3: a) Untersuchen Sie, ob sich x= [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 12}, [/mm] y= [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2} [/mm] und z= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] als Linearkombination von u= [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 5} [/mm] und w= [mm] \vektor{ 0 \\ 2 \\ 3} [/mm] im [mm] \IR [/mm] - Vektorraum [mm] \IR^{3} [/mm] darstellen lassen.
b) Untersuchen Sie auf lineare Unabhängigkeit:
(i) im Vektorraum V = [mm] \IR^3 [/mm] über Körper K = [mm] \IR [/mm] : x= [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ \pi}, [/mm] y= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ \pi} [/mm] und z= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
(ii) im Vektorraum V = [mm] \IR [/mm] = Körper K: x = 1, y = [mm] \wurzel{2}, [/mm] z = [mm] \wurzel{3}.
[/mm]
Ändert sich die Lösung, wenn man stattdessen den Körper [mm] \IQ [/mm] betrachtet? |
Dies ist eine Übungsaufgabe für den Vorkurs "Lineare Algebra" hier im Forum, die von allen Teilnehmern (und Interessenten) beantwortet werden kann. (Es handelt sich also um kein gewöhnliches Hilfegesuch!)
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
$ x = [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 12} [/mm] = 3 * u - w $
$ y = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2} [/mm] = u - w $
u, w und z sind linearunabhängig.
Daher lässt sich z nicht als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Sa 10.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Antwort ist richtig, Besser find ich aus 2 lin unabh. Vektoren lässt sich der Nullvektor nie darstellen.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 &| 0\\ -1 & 0 & 1 &| 0\\ \pi & \pi & 0 &| 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 &| 0\\ -1 & 0 & 1 &| 0\\ 1 & 1 & 0 &| 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 &| 0\\ -1 & 0 & 1 &| 0\\ 1 & 0 & -1 &| 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 &| 0\\ -1 & 0 & 1 &| 0\\ 0 & 0 & 0 &| 0}
[/mm]
~> Nullzeile
~> Linear abhängig
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Fr 09.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, bei 2 sieht man schneller c2-v3=v1
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Danke leduart.
Darauf hätte ich auch kommen können...
Hab das aber nicht gesehen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Fr 09.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein kurzer blick ob die einfachsten kombinationen einen der Vektoren geben lohnt sich oft. der aufgabensteller muss ja uch ganz schnell nen lin. abhängigen "herstellen"
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:02 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Stimmt.
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:01 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Für $V = [mm] \IR$:
[/mm]
$z = [mm] \wurzel{3}x$
[/mm]
Also linear abhängig.
Für $V = [mm] \IQ$:
[/mm]
$ r + s * [mm] \wurzel{2} [/mm] + t * [mm] \wurzel{3} [/mm] = 0 [mm] \qquad [/mm] r,s,t [mm] \in \IQ [/mm] $
Da der erste Ausruck rational ist und $r [mm] \in \IQ$ [/mm] ist, bleibt er rational.
Das heißt, die beiden anderen Ausdrücke müssen entweder rational werden oder sie müssen sich wegheben.
Es gilt:
Eine rationale Zahl multipliziert mit einer irrationalen bleibt irrational.
Daher bleibt nur noch die Möglichkeit, dass die beiden hinteren Ausrücke sich wegheben müssen:
$ s * [mm] \wurzel{2} [/mm] = -t [mm] \wurzel{3}$
[/mm]
$ [mm] -\frac{s}{t} [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] $
Auch hier wird der linke Ausdruck nie rational, das heißt, es existiert nur die triviale Lösung $r,s,t = 0 \ $.
Damit sind sie linear unabhängig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 Sa 10.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:27 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Kimmel |
Dankeschön fürs Drüberschauen.
|
|
|
|
