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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 So 14.09.2008 | | Autor: | sie-nuss |
Hi alle,
ich hab Probleme mit zwei Umformungen:
Erstens:
P [mm] \{-\bruch{\varepsilon}{2+\varepsilon}X \le Y-X \le \bruch{\varepsilon}{2}X\} \ge [/mm] P [mm] \{ |Y-X| \le \bruch{\varepsilon}{3}X\}
[/mm]
Wieso ist das so, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner ist wenn man den Betrag nimmt, und wo kommt das [mm] \bruch{\varepsilon}{3} [/mm] am Ende her?
Zweitens:
Wenn [mm] m\ge37\varepsilon^{-2}n^{2} [/mm] und [mm] 0<\varepsilon<1 [/mm] dann gilt [mm] (1+\bruch{n}{m})^{n}-1 \le \bruch{\varepsilon^{2}}{36}
[/mm]
Ich wär total dankbar wenn mir das jemand erklären könnte :)
Viele Grüße und vielen Dank!
sie-nuss
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> Hi alle,
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> ich hab Probleme mit zwei Umformungen:
>
> Erstens:
>
> P [mm]\{-\bruch{\varepsilon}{2+\varepsilon}X \le Y-X \le \bruch{\varepsilon}{2}X\} \red{\ge}[/mm] P[mm]\{ |Y-X| \le \bruch{\varepsilon}{3}X\}[/mm]
>
> Wieso ist das so, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner ist
> wenn man den Betrag nimmt, und wo kommt das
> [mm]\bruch{\varepsilon}{3}[/mm] am Ende her?
Ich gehe einmal von [mm] $X\geq [/mm] 0$ und [mm] $\varepsilon \in [/mm] ]0;1]$ aus. Dann gilt doch, wegen [mm] $\blue{-\frac{\varepsilon}{2+\varepsilon}X}\leq -\frac{\varepsilon}{2+1}X=\red{-\frac{\varepsilon}{3}X}$ [/mm] und [mm] $\blue{\frac{\varepsilon}{3}X}< \red{\frac{\varepsilon}{2}X}$, [/mm] dass [mm] $\blue{[-\varepsilon/(\varepsilon+2);\varepsilon/2]}\;\supseteq \; \red{[-\varepsilon/3;\varepsilon/3]}$ [/mm] und daher:
[mm]\{\blue{-\bruch{\varepsilon}{2+\varepsilon}X} \le Y-X \le \blue{\bruch{\varepsilon}{2}X}\}\; \supseteq\; \{\red{-\bruch{\varepsilon}{3}X}\leq Y-X\leq \red{\bruch{\varepsilon}{3}X}\}\;=\;\{|Y-X|\leq \bruch{\varepsilon}{3}X\}[/mm]
woraus die entsprechende Ungleichung für die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse folgt.
>
> Zweitens:
>
> Wenn [mm]m\blue{\ge}37\varepsilon^{-2}n^{2}[/mm] und [mm]0<\varepsilon<1[/mm] dann
> gilt [mm](1+\bruch{n}{m})^{n}-1 \red{\le} \bruch{\varepsilon^{2}}{36}[/mm]
Verstehe ich im Moment auch nicht. Ich hätte eher gedacht, dass man die ![[]](/images/popup.gif) Bernoullische Ungleichung angewandt auf [mm] $(1+\bruch{n}{m})^n$ [/mm] so einsetzen könnte:
[mm](1+\bruch{n}{m})^{n}-1 \; \red{\leq} \; 1+n\cdot \frac{n}{m}-1 \; \blue{\leq} \; n\cdot \frac{n}{37\varepsilon^{-2}n^{2}} \;=\; \frac{\varepsilon^2}{37}\;<\;\frac{\varepsilon^2}{36}[/mm]
Aber, wie Du siehst, ist hier die Abschätzung anders herum als in Deiner Fragestellung. Effektiv kann man leicht Gegenbeispiele zu Deiner Ungleichung angeben. Etwa [mm] $\varepsilon [/mm] := 0.5$, $n := 2$ und $m := [mm] 37\cdot \varepsilon^{-2}n^2$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Di 16.09.2008 | | Autor: | sie-nuss |
Hallo somebody,
vielen Dank für die Antwort. Ich hab nicht verstanden, warum du sagst , die zweite Umformung hast du irgendwie anders gelöst als in der Fragestellung. Es stimmt doch alles...! oder?
Also vielen vielen Dank für die Hilfe!
Grüße,
sie-nuss
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> Hallo somebody,
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> vielen Dank für die Antwort. Ich hab nicht verstanden,
> warum du sagst , die zweite Umformung hast du irgendwie
> anders gelöst als in der Fragestellung. Es stimmt doch
> alles...! oder?
Ich scheine in der Tat aus irgend einem Grunde verwirrt gewesen zu sein. Ich hätte schwören können, das Ungleichheitszeichen sei andersherum gerichtet gewesen. - Na, umso besser, wenn sich für Dich alles in Wohlgefallen aufgelöst hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Mi 17.09.2008 | | Autor: | sie-nuss |
--genau! also vielen Dank nochmal!
sie-nuss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:34 Do 30.10.2008 | | Autor: | sie-nuss |
Hallo,
ich hab doch noch ne Frage: Bernoulli sagt doch [mm] (1+x)^n \ge(1+xn). [/mm] Aber so wies aussieht hast du doch diese Ungleichung mit kleinergleich benutzt oder???
WIe immer freue ich mich über helfende Antworten :)
Grüße!
sie-nuss
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> ich hab doch noch ne Frage: Bernoulli sagt doch [mm](1+x)^n \ge(1+xn).[/mm]
> Aber so wies aussieht hast du doch diese Ungleichung mit
> kleinergleich benutzt oder???
Hallo,
ja, das scheint mir wirklich ein Fehler zu sein.
Gruß v. Angela
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