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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 So 16.12.2012 | | Autor: | kioto |
ich glaube ich steh gerade aufm schlauch und verstehe diesen schritt einfach nicht:
[mm] Y_{1}:=\bruch{X_{2}}{X_{1}}
[/mm]
[mm] Y_{2}:=X_{1}
[/mm]
das hier wurde einfach definiert:
[mm] g(x_{1}, x_{2})=(\bruch{x_{2}}{x_{1}}, x_{1})
[/mm]
aber wie so ist
[mm] g^{-1}(y_{1}, y_{2})=(y_{2}, y_{1}y_{2})
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 So 16.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich glaube ich steh gerade aufm schlauch und verstehe
> diesen schritt einfach nicht:
>
> [mm]Y_{1}:=\bruch{X_{2}}{X_{1}}[/mm]
> [mm]Y_{2}:=X_{1}[/mm]
>
> das hier wurde einfach definiert:
> [mm]g(x_{1}, x_{2})=(\bruch{x_{2}}{x_{1}}, x_{1})[/mm]
>
> aber wie so ist
>
> [mm]g^{-1}(y_{1}, y_{2})=(y_{2}, y_{1}y_{2})[/mm]
rechne es doch einfach nach:
[mm] $$g^{-1}(g(x_1,x_2))=g^{-1}(x_2/x_1,\;x_1)\stackrel{\text{nach Angabe von }g^{-1}}{=}(x_1,\;(x_2/x_1)*x_1)=(x_1,x_2)\,,$$
[/mm]
und es gilt
[mm] $$g(g^{-1}(y_1,y_2))=g(y_2,\;y_1*y_2)=(y_1*y_2/y_2,\;y_2)=(y_1,y_2)\,.$$
[/mm]
Beachte: Ist $f: D [mm] \to [/mm] Z$ bijektiv, so ist $g: Z [mm] \to [/mm] D$ genau dann die
eindeutig bestimmte Umkehrfunktion zu [mm] $f\,,$ [/mm] wenn
sowohl
$f [mm] \circ g=\text{id}_Z$
[/mm]
als auch
$g [mm] \circ f=\text{id}_D$
[/mm]
gelten. Dabei ist für [mm] $\emptyset \not=M$ [/mm] die Abbildung [mm] $\text{id}_M: [/mm] M [mm] \to [/mm] M$
definiert durch [mm] $\text{id}_M(m):=m$ [/mm] für alle [mm] $m\in M\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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