umformung einer Kompl. Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Bestimmen sie Real- und Imaginärteil der Komplexen Zahl z.
$z=\frac{(1-i)^9}{\sqrt{2}\cdot e^{i \frac{\pi}{4}}}+(3-2i)^2$ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mein Bisheriger Lösungsweg ist, den Term $(1-i)^9$ in die Euler- Form zu bringen um die Potenz mit hoch 9 zu bestimmen.
ich habe aber Probleme den Winkel richtig zu bestimmen.
Gerechnet hebe ich,
$r=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$
den Winkel berechne ich mit:
$\arctan\frac{-1}{1}=-1$
wegen der Quadranten ist der Winkel $315^\circ$ oder auch $-\frac{1}{4}\pi$
damit entspricht $(1-i)^9=(\sqrt{2}\cdot e^{i (-\frac{1}{4}\pi)})^9$
weiter würde ich dann die beiden Euler- Formen Dividieren
$z=\frac{(\sqrt{2})^9}{\sqrt{2}}\cdot e^{i(-\frac{9}{4}\pi-\frac{1}{4}\pi)}+(3+2i)^2$
damit komme ich dann auf $z=16\cdot e^{i(-\frac{5}{2}\pi)}+(3+2i)$
Problem ist hier nun das das Argument $-\frac {5}{2}\pi$ ist, da müsste was rundes heraus kommen damit man das in der Klausur im Kopf rechnen oder aus einer Tabelle Ablesen kann.
ich habe die ganze Sache auch mal mit $+\frac{1}4}\pi$ durch gerechnet.
Damit wird der Term $e^{i\varphi}$ zu $e^{i(\frac{9}{4}\pi-\frac{1}{4}\pi)}$ und damit zu $e^{i(2\pi)}=e^0=1$
meinen Fehler vermute ich beim ermitteln des Winkels
wenn ich mit $+\frac{1}4}\pi$ weiter rechne komme ich auf:
$z=21+12i$
damit währen Realteil 21 und Imaginärteil 12
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> Bestimmen sie Real- und Imaginärteil der Komplexen Zahl
> z.
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> [mm]z=\frac{(1-i)^9}{\sqrt{2}\cdot e^{i \frac{\pi}{4}}}+(3-2i)^2[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> mein Bisheriger Lösungsweg ist, den Term [mm](1-i)^9[/mm] in die
> Euler- Form zu bringen um die Potenz mit hoch 9 zu
> bestimmen.
> ich habe aber Probleme den Winkel richtig zu bestimmen.
> Gerechnet hebe ich,
>
> [mm]r=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}[/mm]
>
> den Winkel berechne ich mit:
>
> [mm]\arctan\frac{-1}{1}=-1[/mm]
> wegen der Quadranten ist der Winkel [mm]315^\circ[/mm] oder auch
> [mm]-\frac{1}{4}\pi[/mm]
>
> damit entspricht [mm](1-i)^9=(\sqrt{2}\cdot e^{i (-\frac{1}{4}\pi)})^9[/mm]
>
> weiter würde ich dann die beiden Euler- Formen Dividieren
> [mm]z=\frac{(\sqrt{2})^9}{\sqrt{2}}\cdot e^{i(-\frac{9}{4}\pi-\frac{1}{4}\pi)}+(3+2i)^2[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
zweiter Summand abgeändert ? (Vorzeichen)
> damit komme ich dann auf [mm]z=16\cdot e^{i(-\frac{5}{2}\pi)}+(3+2i)[/mm]
und nochmals abgeändert ? (Exponent weg)
> Problem ist hier nun das das Argument [mm]-\frac {5}{2}\pi[/mm] ist,
> da müsste was rundes heraus kommen damit man das in der
> Klausur im Kopf rechnen oder aus einer Tabelle Ablesen
> kann.
> ich habe die ganze Sache auch mal mit [mm]+\frac{1}4}\pi[/mm] durch
> gerechnet.
> Damit wird der Term [mm]e^{i\varphi}[/mm] zu
> [mm]e^{i(\frac{9}{4}\pi-\frac{1}{4}\pi)}[/mm] und damit zu
> [mm]e^{i(2\pi)}=e^0=1[/mm]
>
> meinen Fehler vermute ich beim ermitteln des Winkels
> wenn ich mit [mm]+\frac{1}4}\pi[/mm] weiter rechne komme ich auf:
> [mm]z=21+12i[/mm]
> damit währen Realteil 21 und Imaginärteil 12
Hallo,
es ist $\ [mm] e^{(-\frac {5}{2}\pi)*i}\ [/mm] =\ [mm] e^{(-\frac {1}{2}\pi)*i}\ [/mm] =\ -i$
Aber vielleicht bist du zu müde ... geh ins Bett
LG
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ach mist immer diese Flüchtigkeitsfeher:
der Summand muss lauten $(3+2i)^2$
der Exponent verschwindet folgendermaßen:
anwendung der Formeln
$z^n=(r\cdot e^{i\varphi})^n=r^n\cdot e^{i n\varphi}$
$\frac{z}{w}=\frac{re^{i\varphi}}{se^{i\psi}}=\frac{r}{s}e^{i(\varphi-\psi)$
damit habe ich dann
$z=\frac{(\sqrt{2}\cdot e^{i(-\frac{1}{4}\pi)})^9}{\sqrt{2}\cdot e^{i\frac{1}{4}\pi}}+(3+2i)^2$
$z=\frac{(\sqrt{2})^9\cdot e^{i-\frac{9}{4}\pi}}{\sqrt{2}\cdot e^{i\frac{1}{4}\pi}}+(3+2i)^2$
$z=\frac{(\sqrt2)^9}{\sqrt2}\cdot e^{i(-\frac{9}{4}\pi-\frac{1}{4}\pi)}+(3+2i)^2$
$z=(\sqrt{2})^8$\cdot e^{i(-\frac{10}{4}\pi)}+(3+2i)^2$
$z=16\cdot e^{i(-\frac{5}{2}\pi)}+(3+2i)^2$
hoffe das meine Rechnung nun verständlich ist
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Hallo georg1982,
> ach mist immer diese Flüchtigkeitsfeher:
>
> der Summand muss lauten [mm](3+2i)^2[/mm]
>
> der Exponent verschwindet folgendermaßen:
> anwendung der Formeln
> [mm]z^n=(r\cdot e^{i\varphi})^n=r^n\cdot e^{i n\varphi}[/mm]
>
> [mm]\frac{z}{w}=\frac{re^{i\varphi}}{se^{i\psi}}=\frac{r}{s}e^{i(\varphi-\psi)[/mm]
>
> damit habe ich dann
>
> [mm]z=\frac{(\sqrt{2}\cdot e^{i(-\frac{1}{4}\pi)})^9}{\sqrt{2}\cdot e^{i\frac{1}{4}\pi}}+(3+2i)^2[/mm]
>
> [mm]z=\frac{(\sqrt{2})^9\cdot e^{i-\frac{9}{4}\pi}}{\sqrt{2}\cdot e^{i\frac{1}{4}\pi}}+(3+2i)^2[/mm]
>
> [mm]z=\frac{(\sqrt2)^9}{\sqrt2}\cdot e^{i(-\frac{9}{4}\pi-\frac{1}{4}\pi)}+(3+2i)^2[/mm]
>
> [mm]$z=(\sqrt{2})^8$\cdot e^{i(-\frac{10}{4}\pi)}+(3+2i)^2$[/mm]
>
> [mm]z=16\cdot e^{i(-\frac{5}{2}\pi)}+(3+2i)^2[/mm]
>
> hoffe das meine Rechnung nun verständlich ist
Ja, ist sie. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt noch Real- und Imaginärteil von z bestimmen.
Gruss
MathePower
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> ach mist immer diese Flüchtigkeitsfeher:
>
> der Summand muss lauten [mm](3+2i)^2[/mm]
Mit dem verschwundenen Exponenten meinte ich
genau die Hochzahl 2 in diesem Teilterm.
> der Exponent verschwindet folgendermaßen:
> anwendung der Formeln
> [mm]z^n=(r\cdot e^{i\varphi})^n=r^n\cdot e^{i n\varphi}[/mm]
>
> [mm]\frac{z}{w}=\frac{re^{i\varphi}}{se^{i\psi}}=\frac{r}{s}e^{i(\varphi-\psi)[/mm]
>
> damit habe ich dann
>
> [mm]z=\frac{(\sqrt{2}\cdot e^{i(-\frac{1}{4}\pi)})^9}{\sqrt{2}\cdot e^{i\frac{1}{4}\pi}}+(3+2i)^2[/mm]
>
> [mm]z=\frac{(\sqrt{2})^9\cdot e^{i-\frac{9}{4}\pi}}{\sqrt{2}\cdot e^{i\frac{1}{4}\pi}}+(3+2i)^2[/mm]
>
> [mm]z=\frac{(\sqrt2)^9}{\sqrt2}\cdot e^{i(-\frac{9}{4}\pi-\frac{1}{4}\pi)}+(3+2i)^2[/mm]
>
> [mm]$z=(\sqrt{2})^8$\cdot e^{i(-\frac{10}{4}\pi)}+(3+2i)^2$[/mm]
>
> [mm]z=16\cdot e^{i(-\frac{5}{2}\pi)}+(3+2i)^2[/mm]
>
> hoffe das meine Rechnung nun verständlich ist
Ja, aber es geht ja noch etwas weiter; und ich
hatte schon angegeben, dass:
$ \ [mm] e^{(-\frac {5}{2}\pi)\cdot{}i}\ [/mm] =\ [mm] e^{(-\frac {1}{2}\pi)\cdot{}i}\ [/mm] =\ -i $
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Do 09.02.2012 | | Autor: | georg1982 |
Hab jetzt als Ergebnis
$z=5-4i$
mit [mm] $e^{i(-\frac{5}{2}\pi)}=-i$
[/mm]
und alles ohne TR.
danke für eure Hilfe
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