umgekehrte Dreiecksungleichung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Herbart |
Hallo,
ich frage mich, ob für einen metrischen Raum (M,d) mit einer allgemeinen Metrik d die umgekehrte Dreiecksungleichung
[mm] |d(x,y)-d(z,y)|\le [/mm] d(x,z)
auch in folgender Form gilt:
d(d(x,y),d(z,y)) [mm] \le [/mm] d(x,z).
Kann man das so sagen? Ich frage mich deshalb, da d(...,...) im unteren Beispiel ja nicht unbedingt die euklidische Metrik ist im Gegensatz zum oberen Fall, wo ja |...-...| steht.
Liebe Grüße
Herbart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Sa 01.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Eine Metrik [mm] $d:\mathcal{X}\times\mathcal{X}\to\IR$ [/mm] ist doch gerade über folgende Punkte definiert:
- positive Definitheit, also [mm] $d(x;y)\ne0$ [/mm] für [mm] $x\ne [/mm] y$ und $d(x;x)=0$
- Symmetrie $d(x;y)=d(y;x)$
- Geltung der Dreiecksungl. [mm] $d(x;y)\le [/mm] d(x;z)+d(z;y)$
Wenn die Elemente [mm] aus $\mathcal{X}$ [/mm] wieder Metriken sind, muss natürlich gelten [mm] $\mathcal{X}\subseteq\IR$
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Herbart |
Vielen Dank für deine Antwort. Ich kenne natürlich die Def. einer Metrik, aber dein letzter Hinweis [mm] X\subseteq\IR [/mm] soll mich wahrscheinlich darin bestärken, dass ich in dem 2. von mir geschilderten Fall zum Beweis wie im ersten Fall der Dreiecksungleichung vorgehen soll und zwar über die Dreiecksungleichung. Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Sa 01.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Vielen Dank für deine Antwort. Ich kenne natürlich die
> Def. einer Metrik, aber dein letzter Hinweis [mm]X\subseteq\IR[/mm]
> soll mich wahrscheinlich darin bestärken, dass ich in dem
> 2. von mir geschilderten Fall zum Beweis wie im ersten Fall
> der Dreiecksungleichung vorgehen soll und zwar über die
> Dreiecksungleichung. Oder?
Das würde ich ähnlich interpretieren. Wichtug ist, dass [mm] X\subseteq\IR [/mm] sein muss, denn die Elemente in der Metrik sind Bilder einer Metrik.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Herbart |
Eine Frage habe ich noch, die auch zum Thema passt:
Kann ich [mm]d(x+y,z)\le d(x,z)+d(y,z)[/mm] wegen der Dreiecksungleichung für alle Metriken d annehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Sa 01.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Eine Frage habe ich noch, die auch zum Thema passt:
> Kann ich [mm]d(x+y,z)\le d(x,z)+d(y,z)[/mm] wegen der
> Dreiecksungleichung für alle Metriken d annehmen?
Das ist Unsinn, denn in einem metrischen Raum hast Du i.a. keine Addition !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Herbart |
Schade. Hätte mir einiges erleichtert 
Danke für deine Antwort.
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