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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mo 07.12.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | X,Y,Z seien [mm] \IZ-wertige [/mm] Zufallsvariablen, die auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Man zeige:
X,Y sind genua dann unabhängig, wenn für alle k,l die Ereignisse {X = k }und { Y = l } unabhängig sind. |
hallo,
also mit der unabhängigkeit von zv kann ich eigentlich schon was anfangen,also ich weiß,dass P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A) P(B) gelten muss.trotzdem fehlt mir hier ein ansatz an die aufgabe ranzugehen. kann mir da jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:05 Di 08.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> X,Y,Z seien [mm]\IZ-wertige[/mm] Zufallsvariablen, die auf dem
> gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Man
> zeige:
> X,Y sind genua dann unabhängig, wenn für alle k,l die
> Ereignisse {X = k }und { Y = l } unabhängig sind.
>
> hallo,
> also mit der unabhängigkeit von zv kann ich eigentlich
> schon was anfangen,also ich weiß,dass P(A [mm]\cap[/mm] B) = P(A)
> P(B) gelten muss.
Das $P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A) P(B)$ sagt, dass die Mengen $A$, $B$ unabhaengig sind.
Jetzt musst du mal nachschauen, wie die Unabhaengigkeit von Zufallsvariablen definiert ist! Ohne die Definition kommen wir hier nicht weiter.
> trotzdem fehlt mir hier ein ansatz an die
> aufgabe ranzugehen. kann mir da jemand helfen?
Du hast zwei Aequivalenzen zu zeigen.
Fang doch damit an, dass du annimmst, $X$ und $Y$ seien unabhaengig. Dann musst du zeigen, dass fuer ein beliebig gewaehltes Paar $k, [mm] \ell$ [/mm] die Mengen [mm] $\{ X = k \}$ [/mm] und [mm] $\{ Y = \ell \}$ [/mm] unabhaengig sind, d.h. dass $P(X = k, Y = [mm] \ell) [/mm] = P(X = k) P(Y = [mm] \ell)$ [/mm] ist.
LG Felix
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