unabhängigkeit von ereignissen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | aufgabe 1)
omega={1;2;3;4;5;6} sei der ergebnisraum des zufallsexperiments "werfen eines laplace-würfels". man zeige: zwei ereignisse A und B mit [mm] \emptyset \subset [/mm] A [mm] \subset [/mm] omega und [mm] \emptyset \subset [/mm] B [mm] \subset [/mm] omega sind genau dann abhängig, wenn die eine der mengen genau 3 und die andere genau 4 und der durchscnitt genau 2 elemente enthält oder die eine der mengen genau 2 und die andere genau 3 elemente und der durchschnitt genau 1 element enthält.
aufgabe 2)
von 3 ereignissen A, B, C seien A und B unabhängig, B und C unabhängig. zeigen sie an einem beispiel, dass die relation der unabhängigkeit nicht transitiv ist. |
zu 1)
ich hab mir halt überlegt, dass A={1;3;5} und B={2;3;4;5}
und mit der formel für die unabhängigkeit kommt dann eben das richtige raus, also [mm] \bruch{3}{6}*\bruch{4}{6}=\bruch{2}{6}
[/mm]
also wahrschlk von A mal B ist wahrschnlk von A geschn. B.
aber das ist ja kein beweis dafür...könnt ihr mir helfen?
zu 2)
also man soll beweisen, dass dann A und C nicht automatisch unabhängig sind, oder?
aber welches beispiel wäre dafür geeignet und wie kann man das dann beweisen??
danke...:)
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> aufgabe 1)
> omega={1;2;3;4;5;6} sei der ergebnisraum des
> zufallsexperiments "werfen eines laplace-würfels". man
> zeige: zwei ereignisse A und B mit [mm]\emptyset \subset[/mm] A
> [mm]\subset[/mm] omega und [mm]\emptyset \subset[/mm] B [mm]\subset[/mm] omega sind
> genau dann abhängig, wenn die eine der mengen genau 3 und
> die andere genau 4 und der durchscnitt genau 2 elemente
> enthält oder die eine der mengen genau 2 und die andere
> genau 3 elemente und der durchschnitt genau 1 element
> enthält.
>
> aufgabe 2)
> von 3 ereignissen A, B, C seien A und B unabhängig, B und
> C unabhängig. zeigen sie an einem beispiel, dass die
> relation der unabhängigkeit nicht transitiv ist.
> zu 1)
> ich hab mir halt überlegt, dass A={1;3;5} und B={2;3;4;5}
> und mit der formel für die unabhängigkeit kommt dann eben
> das richtige raus, also
> [mm]\bruch{3}{6}*\bruch{4}{6}=\bruch{2}{6}[/mm]
> also wahrschlk von A mal B ist wahrschnlk von A geschn.
> B.
> aber das ist ja kein beweis dafür...
Es ist ein Beweis für die Unabhängigkeit der konkreten Ereignisse $A,B$, die Du gewählt hast. Es ist aber kein Beweis der Behauptung, die es zu beweisen gilt.
Grundsätzlich ist es ja so: zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn gilt
[mm] [center]$P(A\cap B)=P(A)\cdot [/mm] P(B)$[/center]
>könnt ihr mir helfen?
Um Aufgabe 1 lösen zu können, wirst Du vermutlich einige Einzelfälle durchdenken müssen. Um die Zahl dieser Fälle aber möglichst klein zu halten (schliesslich gibt es hier [mm] $2^6=64$ [/mm] verschiedene Ereignisse!), solltest Du beachten, dass [mm] $P(A\cap [/mm] B)$ ja nur einen der fünf Werte [mm] $\frac{k}{6}$, $k=1,\ldots,5$ [/mm] annehmen kann. Deshalb sind für $P(A)$ und $P(B)$ bei unabhängigen Ereignissen $A,B$ [mm] ($\neq \emptyset, \Omega$) [/mm] nicht beliebige Werte möglich.
Zum Beispiel kann nicht zugleich [mm] $P(A)=\frac{3}{6}$ [/mm] und [mm] $P(B)=\frac{3}{6}$ [/mm] sein: denn dann müsste [mm] $P(A\cap B)=\frac{3}{6}\cdot \frac{3}{6}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$ [/mm] sein, was nicht möglich ist, weil dieser Wert nicht die Form [mm] $\frac{k}{6}$ [/mm] hat für ein [mm] $k\in\{1;2;\ldots;5\}$
[/mm]
Zudem darfst Du ("ohne Beschränkung der Allgemeinheit", wie man in solchen Fällen zu sagen pflegt) annehmen, dass die Zahl der Ergebnisse in $A$ nicht grösser ist als diejenige in $B$. Das heisst, dass [mm] $|A|\leq [/mm] |B$.
> zu 2)
> also man soll beweisen, dass dann A und C nicht
> automatisch unabhängig sind, oder?
> aber welches beispiel wäre dafür geeignet und wie kann man
> das dann beweisen??
Du kannst das Ergebnis (bzw. die Behauptung) von Aufgabe 1 anwenden: Versuche also drei Ereignisse $A,B,C$ so zu wählen, dass $A,B$ und $B,C$ je die Bedingung von Aufgabe 1 für Unabhängigkeit erfüllen, nicht aber $A,C$. Zum Beispiel könntest Du zwei dreielementige Ereignisse $A$ und $C$ so zu wählen versuchen, dass sie mit dem vierelementigen Ereignis $B$ genau 2 Ergebnisse gemeinsam haben (und deshalb, gemäss Aussage von Aufgabe 1, sowohl $A$ als auch $C$ von $B$ unabhängig sein müssen). Da dann beide Ereignisse, $A$ und $C$, vierelementig sind, müssen sie aber, immer gemäss Aussage von Aufgabe 1, von einander abhängig sein.
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