unabhängigkeit von vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 So 13.11.2005 | | Autor: | tempo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hi, also die aufgabe lautet:
Seien [mm] v_1,...v_n \in [/mm] V linear unabhängig, V ein k-Vektorraum. Seien [mm] \lambda_2,...\lambda_n \in [/mm] k. Zeigen Sie, daß die Vektoren [mm] v_1,v_2+\lambda_2*v_1,v_3+\lambda_3*v_1,...,v_n+\lambda_n*v_1 [/mm] linear unabhängig sind.
also laut meiner vorstellungskraft sind sie linear abhängig (nehme z.B. zwei vektoren in einer ebene, dann liegen sie durch geeignete + [mm] \lambda_i*v_1 [/mm] auf einer geraden und sind somit ein vielfaches voneinander...), aber wie soll ich das beweisen? wenn ich annehme das sie lin. abhängig sind komme ich z.B. bis zu einem term der so aussieht: [mm] \lambda(v_j+\lambda_j*v_1)=-\summe_{i=2}^{n} v_i+\lamda_i*v_1 [/mm] (mit [mm] i\not=j)und [/mm] dann ist für mich schluss; weiter weiß ich nicht. ähnlich ist es wenn ich annehme das sie lin. unabhängig sind... da ist auch recht bald schluss. kann mir vielleicht jemand einen tip geben?
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Hallo,
> Seien [mm]v_1,...v_n \in[/mm] V linear unabhängig, V ein
> k-Vektorraum. Seien [mm]\lambda_2,...\lambda_n \in[/mm] k. Zeigen
> Sie, daß die Vektoren
> [mm]v_1,v_2+\lambda_2*v_1,v_3+\lambda_3*v_1,...,v_n+\lambda_n*v_1[/mm]
> linear unabhängig sind.
Die [mm] \lambda_i [/mm] sind hier fest. So fest, wie die vorgegebenen Vektoren [mm] v_i, [/mm] Du hast hier also n Vektoren, die aus den n Vektoren [mm] v_i [/mm] durch Addition eines Vielfachen von [mm] v_1 [/mm] hervorgegangen sind. (Du mußt dir das so vorstellen, als wären die [mm] \lambda_i [/mm] irgendwelche Zahlen, z.B [mm] v_2+7v_1, v_3-12v_1, v_4+6v_1,...) [/mm]
>
> also laut meiner vorstellungskraft sind sie linear abhängig
> (nehme z.B. zwei vektoren in einer ebene, dann liegen sie
> durch geeignete + [mm]\lambda_i*v_1[/mm] auf einer geraden und sind
> somit ein vielfaches voneinander...),
Nein, nein! Nimm doch mal [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1}. [/mm] Du wirst [mm] \vektor{0 \\ 1}+ [/mm] k [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] nicht dazu bringen, ein Vielfaches von [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] zu sein. Es sei denn, es ist k=0.
aber wie soll ich das
> beweisen?
Einigen wir uns also darauf, daß wir wie in der Aufgabe be- und empfohlen, die lineare Unabhängigkeit zeigen.
Dazu nehmen wir an, daß es eine Linearkombination der fraglichen Vektoren gibt, welche den Nullvektor ergibt. Folgt hieraus, daß alle Linearfaktoren =0 sind, haben wir die Unabhängigkeit gezeigt. Das ist klar? Definition der linearen Unabhängigkeit?
Seien also [mm] \mu_i \in [/mm] K, i=1,2,...,n mit
[mm] 0=\mu_1v_1+\mu_2(v_2+\lambda_2v_1)+\mu_3(v_3+\lambda_3v_1)+...+\mu_n(v_n+\lambda_nv_1)
[/mm]
[Jetzt wird sortiert nach [mm] v_1,v_2,...,v_n. [/mm] Denn von denen wissen wir: linear unabhängig nach Voraussetzung.]
[mm] =(\mu_1+\mu_2\lambda_2 +...+\mu_n\lambda_n)v_1+\mu_2v_2+...+\mu_nv_n
[/mm]
[Aus der lin.Unabh. der [mm] v_i [/mm] folgt nun, daß alle Vorfaktoren =0 sind]
==> [mm] (\mu_1+\mu_2\lambda_2 +...+\mu_n\lambda_n)=0 [/mm] uns [mm] \mu_2=0 [/mm] und ... und [mm] \mu_n=0
[/mm]
==> [mm] \mu_1=\mu_2=...=\mu_n=0
[/mm]
Somit ist die lineare Unabhängigkeit gezeigt.
wenn ich annehme das sie lin. abhängig sind komme
> ich z.B. bis zu einem term der so aussieht:
> [mm]\lambda(v_j+\lambda_j*v_1)=-\summe_{i=2}^{n} v_i+\lamda_i*v_1[/mm]
> (mit [mm]i\not=j)und[/mm] dann ist für mich schluss; weiter weiß ich
> nicht. ähnlich ist es wenn ich annehme das sie lin.
> unabhängig sind... da ist auch recht bald schluss. kann mir
> vielleicht jemand einen tip geben?
Ich hab' Dir nun gezeigt, wie's geht.
Wär schön, wenn Du's nicht einfach abschreiben, sondern wirklich Schritt für Schritt verstehen würdest, wiedergeben könntest und in ähnlichen Situationen (die werden kommen!) anwenden. Wenn irgendetwas unklar ist, frag nochmal nach.
Die lineare Unabhängigkeit mußt Du für alles, was noch kommt, unbedingt verstanden haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 13.11.2005 | | Autor: | tempo |
vielen dank erstmal, hat mich etwas weitergebracht!
aber was ich noch nicht verstehe ist, warum aus [mm] (\mu_1+\mu_2*\lambda_2+...+\mu_n*\lambda_n)=0 [/mm] folgt das [mm] \mu_2... [/mm] =0 sein sollen? [mm] \lambda [/mm] sind ja irgendwelche skalare und [mm] \mu [/mm] doch auch?! dann gebe es doch z.B. [mm] \mu_1=1 [/mm] und [mm] \mu_2=-1 [/mm] (mit [mm] \lamda_2=1) [/mm] und allen anderen [mm] \mu=0 [/mm] eine kombination gleich 0 bei der nicht alle [mm] \mu=0 [/mm] sind?!
und was in meiner vorstellung noch "rumkriecht": habe z.B. [mm] v_2=(1,2) [/mm] und [mm] v_3=(2,1) [/mm] (sind ja unabh.) mit [mm] v_1=(1,-1) [/mm] wäre ja dann [mm] v_2+\lambda_2*v_1 [/mm] und [mm] v_3+\lambda_3*v_1 [/mm] (mit [mm] \lambda_2=1 [/mm] und [mm] \lambda_3=0) [/mm] lin. abhängig?!?
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> vielen dank erstmal, hat mich etwas weitergebracht!
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> aber was ich noch nicht verstehe ist, warum aus
> [mm](\mu_1+\mu_2*\lambda_2+...+\mu_n*\lambda_n)=0[/mm] folgt das
> [mm]\mu_2...[/mm] =0 sein sollen?
Hm, schade, daß Du meine Botschaft nicht zitierst, aber Du hast's sicher vor Augen.
Guck Dir die Zeile vor der besagten Folgerung an.
Da haben wir eine Linearkombination der [mm] v_i, [/mm] welche Null ergibt. Und wir wissen doch: die [mm] v_i [/mm] sind linear unabhängig. Nach Voraussetzung. Also müssen alle Vorfaktoren =0 sein,
d.h. [mm] (\mu_1+\mu_2*\lambda_2+...+\mu_n*\lambda_n)=0 [/mm] und [mm] \mu_2=0 [/mm] und ... und [mm] \mu_n=0.
[/mm]
Da ist noch nichts gerechnet, das kommt nur aus der beschriebenen Gleichung und der lin. Unabhängigkeit.
Ja, und wenn Du nun [mm] \mu_i=0 [/mm] in [mm] (\mu_1+\mu_2*\lambda_2+...+\mu_n*\lambda_n)=0 [/mm] einsetzt, purzelt heraus, daß [mm] \mu_1 [/mm] auch Null sein muß.
[mm]\lambda[/mm] sind ja irgendwelche
> skalare und [mm]\mu[/mm] doch auch?! dann gebe es doch z.B. [mm]\mu_1=1[/mm]
> und [mm]\mu_2=-1[/mm] (mit [mm]\lamda_2=1)[/mm] und allen anderen [mm]\mu=0[/mm] eine
> kombination gleich 0 bei der nicht alle [mm]\mu=0[/mm] sind?!
Ich verstehe, was Du meinst.
Es sind zwar die [mm] \mu_i [/mm] und [mm] \lambda_i [/mm] allesamt aus dem Skalarenkörper, da hast Du völlig recht.
Aber die [mm] \lambda_i [/mm] sind vorgegeben. Sie sind zwar beliebig, aber innerhalb der weiteren Betrachtung fest. Das meinte ich damit, daß Du sie Dir wie fest vorgegebene Zahlen vorstellen sollst.
Mit den [mm] \mu_i [/mm] ist das anders.
Man sagt: angenommen, es gibt solche [mm] \mu_i, [/mm] dann ... Das sind angenommene [mm] \mu_i [/mm] , und erst der weitere Verlauf der Rechnung zeigt, wie sie aussehen müssen.
Vielleicht hilft es Dir, wenn Du meine [mm] \mu_i [/mm] mal ausmerzt und durch [mm] x_i [/mm] ersetzt. Manchmal wirkt das Wunder.
Paß auf, wir machen die Aufgabe wirklich mal mit konkreten Zahlen.
Seien [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] lin. unabhängig.
Sei [mm] w_1:=v_1, w_2:=v_1+2v_2, w_3:=v_1+3v_3.
[/mm]
Wir zeigen nun, daß die [mm] w_i [/mm] linear unabhängig sind.
Seien [mm] \mu_i \in \IR [/mm] mit
[mm] 0=\mu_1w_1+\mu_2w_2+\mu_3w_3
[/mm]
[mm] =(\mu_1+2\mu_2+3\mu_3)v_1+\mu_2v_2+\mu_3v_3
[/mm]
Wegen der linearen Unabhängigkeit folgt [mm] (\mu_1+2\mu_2+3\mu_3)=0 [/mm] und [mm] \mu_2=0 [/mm] und [mm] \mu_3=0
[/mm]
==> alle [mm] \mu_i=0
[/mm]
==> Die [mm] w_i [/mm] sind linear unabhängig.
Ich habe die große Hoffnung, daß Du den qualitativen Unterschied zwischen den [mm] \lambda_i [/mm] und den [mm] \mu_i [/mm] hieran erkennst.
>
> und was in meiner vorstellung noch "rumkriecht": habe z.B.
> [mm]v_2=(1,2)[/mm] und [mm]v_3=(2,1)[/mm] (sind ja unabh.) mit [mm]v_1=(1,-1)[/mm]
> wäre ja dann [mm]v_2+\lambda_2*v_1[/mm] und [mm]v_3+\lambda_3*v_1[/mm] (mit
> [mm]\lambda_2=1[/mm] und [mm]\lambda_3=0)[/mm] lin. abhängig?!?
Ja, das bestreite ich nicht, und niemand wird das bestreiten wollen.
Aber die Situation ist eine gänzlich andere als in der Aufgabe: In der Aufgabe hast Du n linear unabhängige Vektoren vorgegeben.
In Deinem Beispiel aber sind [mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] linear abhängig!!! (Es bleibt den Armen auch gar nichts anderes übrig: drei Vektoren im [mm] \IR^2...)
[/mm]
Doch Deine Idee mit einem konkreten Beispiel ist haargenau die richtige, um etwas zu verstehen:
Nimm Dir mal drei (wirklich linear unabhängige) Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] her, und schau Dir die Sache an.
Viel Erfolg und
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 So 13.11.2005 | | Autor: | tempo |
WoW! kann leider nicht mehr als danke sagen! habe es jetzt begriffen! (sogar alles was du geschrieben hast! inkl. zahlendreher beim beweis der [mm] w_i's [/mm] ;) )
ps. aber das meine vektoren abhängig waren hätte ich sehen müssen! *schäm*
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