uneigentlich Riemann, Lebesgue < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mo 03.11.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Die Funktion [mm] $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, [/mm] gegeben durch
[mm] $f(x)=\frac{sin(x)}{x}{\chi}_{[1,\infty)}(x)$
[/mm]
ist uneigentlich Riemann integrierbar, aber nicht Lebesgue integrierbar. |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe, insbesondere zur Notation. Ich weiß nichts so recht mit der Charakteristischen Funktion hier anzufangen. Kann ich trotzdem so integrieren wie gewohnt?
Bzw. ist das hier glaube ich "nicht möglich", jedenfalls liefert mir Wolframalpha einen nicht geschlossenen Ausdruck.
Daher hatte ich gedacht vielleicht das ganze mittels der Reihenentwicklung des Sinus abzuschätzen und dann den uneigentlich Grenzwert zu bestimmen.
Um die Lebesgueintegrierbarkeit zu widerlegen würde ich dann das uneigentliche Integral von |f| bestimmen und zeigen, dass dies gegen unendlich geht.
Wie gehe ich hier mit der charakteristischen Funktion um?
Wie kann ich am besten eine Stammfunktion von f angeben? Wie gesagt würde ich hier eher zu einer Abschätzung tendieren.
Über Tipps würde ich mich freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Mo 03.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
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> Hi,
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> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe, insbesondere zur
> Notation. Ich weiß nichts so recht mit der
> Charakteristischen Funktion hier anzufangen. Kann ich
> trotzdem so integrieren wie gewohnt?
Ich weiß nicht, wie du sonst integrierst.
> Bzw. ist das hier glaube ich "nicht möglich", jedenfalls
> liefert mir Wolframalpha einen nicht geschlossenen
> Ausdruck.
Man soll ja auch keine Stammfunktion bestimmen.
> Daher hatte ich gedacht vielleicht das ganze mittels der
> Reihenentwicklung des Sinus abzuschätzen und dann den
> uneigentlich Grenzwert zu bestimmen.
Sollte funktionieren.
Alternativ: [mm] $\int\limits_1^\infty \frac{1-\cos(x)}{x^2} \mathrm{d}xkonvergiert [/mm] offenbar, also ist f Riemann integrierbar. (Das ist natürlich auszuführen)
Durch einen kleinen Trick, der insbesondere in der Physik sehr hip ist, kann man auch das Integral berechnen. Dazu baut man einen Yukawa Term ein:
Es ist [mm] $g\in C^1(\IR^+)$, [/mm] wo [mm] $g(t):=\int_0^b \exp(-tx)\frac{\sin(x)}{x} \mathrm{d}x$. [/mm] Der Clue ist, dass man die Ableitung explizit berechnen kann. Durch Integration (und einigen Abschätzungen) kannst du g(0) berechnen (was man nicht unbedingt muss).
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> Um die Lebesgueintegrierbarkeit zu widerlegen würde ich
> dann das uneigentliche Integral von |f| bestimmen und
> zeigen, dass dies gegen unendlich geht.
Wie willst du das bestimmen? Man sollte das geeignet abschätzen (Tipp: von Nullstelle zu Nullstelle integrieren)
>
> Wie gehe ich hier mit der charakteristischen Funktion um?
> Wie kann ich am besten eine Stammfunktion von f angeben?
> Wie gesagt würde ich hier eher zu einer Abschätzung
> tendieren.
>
> Über Tipps würde ich mich freuen.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mo 03.11.2014 | | Autor: | YuSul |
"Man soll ja auch keine Stammfunktion bestimmen."
Aber ich brauch doch eine Stammfunktion, oder etwas "brauchbares" um das uneigentliche Riemannintegral zu ermitteln.
Ok, dann werde mal gucken ob ich da morgen etwas mit einer Abschätzung hinbekomme.
Von einem Yakuawa Term habe ich leider bisher nichts gehört (aber ich habe auch keine Physik).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mo 03.11.2014 | | Autor: | andyv |
> "Man soll ja auch keine Stammfunktion bestimmen."
>
> Aber ich brauch doch eine Stammfunktion, oder etwas
> "brauchbares" um das uneigentliche Riemannintegral zu
> ermitteln.
Nein, wie ich erläutert habe geht es auch ohne Stammfunktion.
Wie erwähnt ist das ausrechnen der Integrale aber auch nicht nötig (und mit mehr Arbeit verbunden).
>
> Ok, dann werde mal gucken ob ich da morgen etwas mit einer
> Abschätzung hinbekomme.
>
> Von einem Yakuawa Term habe ich leider bisher nichts
> gehört (aber ich habe auch keine Physik).
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:06 Di 04.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
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> Die Funktion [mm]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm], gegeben durch
>
> [mm]f(x)=\frac{sin(x)}{x}{\chi}_{[1,\infty)}(x)[/mm]
>
> ist uneigentlich Riemann integrierbar, aber nicht Lebesgue
> integrierbar.
>
> Hi,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe, insbesondere zur
> Notation. Ich weiß nichts so recht mit der
> Charakteristischen Funktion hier anzufangen. Kann ich
> trotzdem so integrieren wie gewohnt?
> Bzw. ist das hier glaube ich "nicht möglich", jedenfalls
> liefert mir Wolframalpha einen nicht geschlossenen
> Ausdruck.
> Daher hatte ich gedacht vielleicht das ganze mittels der
> Reihenentwicklung des Sinus abzuschätzen und dann den
> uneigentlich Grenzwert zu bestimmen.
>
> Um die Lebesgueintegrierbarkeit zu widerlegen würde ich
> dann das uneigentliche Integral von |f| bestimmen und
> zeigen, dass dies gegen unendlich geht.
>
> Wie gehe ich hier mit der charakteristischen Funktion um?
> Wie kann ich am besten eine Stammfunktion von f angeben?
> Wie gesagt würde ich hier eher zu einer Abschätzung
> tendieren.
>
> Über Tipps würde ich mich freuen.
1. Es ist
f(x)=0 für x<1 und [mm] f(x)=\bruch{sin(x)}{x} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 1.
Es geht also um das Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx}
[/mm]
2. Dass f uneigentlich Riemann integrierbar über [1, [mm] \infty) [/mm] ist , zeigst Du am einfachsten mit dem Cauchy-Kriterium.
3. Zeige, dass |f| nicht uneigentlich Riemann integrierbar über [1, [mm] \infty) [/mm] ist. Ihr hattet sicher einen Satz, der dann besagt, dass f dann nicht Lebesgue integrierbar ist.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:09 Di 04.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Danke für die Tipps.
Für den ersten Teil habe ich einmal partiell integriert und dann ein wenig abgeschätzt. So konnte ich (hoffentlich richtig) zeigen, dass das Integral auf jeden Fall kleiner als 1 ist.
Für den zweiten Teil habe ich [mm] $|\frac{sin(x)}{x}|$ [/mm] grob nach unten mit der Reihenentwicklung des Sinus abgeschätzt. Einfach den ersten Summanden genommen, selbst damit divergiert es aber schon.
Eine Kontrolle halte ich zur Abwechslung glaube ich für nicht notwendig.
Vielen Dank, die Aufgabe war sehr viel leichter als Gedacht, nur die Notation hatte mich anfänglich verwirrt, aber auch das ist jetzt klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Do 06.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich stelle gerade fest, dass meine Abschätzung für [mm] $\frac{|sin(x)|}{x}$ [/mm] leider falsch ist.
Leider komme ich gerade nicht auf eine geeignete Abschätzung.
Auch wenn ich von Nullstelle zu Nullstelle integrieren möchte komme ich nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Do 06.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
man kann wie folgt abschätzen:
[mm] $\int\limits_{n\pi}^{(n+1)\pi} [/mm] |sinc(x)| [mm] \mathrm{d}x\ge\frac{1}{(n+1)\pi}\int\limits_{n\pi}^{(n+1)\pi} |\sin(x)| \mathrm{d}x=\frac{2}{(n+1)\pi}$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Da die harmonische Reihe divergiert, ist |f| nicht L-integrierbar.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Do 06.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Danke, das habe ich verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Do 06.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Ist das c in sinc(x) ein Tippfehler, oder eine andere Funktion?
Ansonsten frage ich mich gerade doch noch wie ich diese Abschätzung am besten beweisen kann. Denn das Integral dieser Teilintervalle kann ich ja nicht so ohne weiteres bestimmen um sie dann derart abzuschätzen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Do 06.11.2014 | | Autor: | andyv |
[mm] $sinc(x)=\frac{\sin(x)}{x}\equiv [/mm] Sinus \ cardinalis$
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Do 06.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Danke, diese Notation war mir nicht bekannt.
Ich kenne nur sowas wie
$sec(x)$ was glaube ich [mm] $\frac{1}{sin(x)}$ [/mm] wäre.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 06.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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