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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Do 13.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei (V,f) ein endlichdimensionaler euklidisches Vektorraum mit [mm] dim_{\IR}V [/mm] >0 und sei w [mm] \in [/mm] V\ [mm] \{0\}. [/mm] Für alle v [mm] \in [/mm] V seien p(v) und l(v)=v-p(v) die orthogonale Projektion bzw. das Lot von v auf [mm] (\IR*w)\perp.
[/mm]
Sei g:V [mm] \to [/mm] V, v [mm] \mapsto [/mm] p(v)-l(v).
Man beweise, dass g eine uneigentliche orthogonale Abbildung ist und dass [mm] f(v)=v-\bruch{2*f(v,w)}{f(w,w)}*w [/mm] gilt für alle v [mm] \in [/mm] V. |
Hallo,
ich hab versucht die Aufgabe zu lösen, hab auch schon Ansätze,aber komme nicht mehr weiter.
Also ich hab mir die Situation erstmal aufgezeichnet unzwar so, dass ich V als eine Gerade dargestellt habe.
Jetzt soll ich zeigen, dass g eine uneigentlich orthogonale abbilfung ist. Dazu muss ich zeigen, dass die Determinante von g -1 ist. Aber das gilt nur wenn g ein Endomorphismus ist. Ich bin mir grad nicht sicher, ob ich hier die Linearität auch zeigen muss, damit bewiesen ist, dass g ein End. ist,denn das steht nicht in der Aufgabe.
Um nun zu zeigen, dass die Determinante von g =-1 ist, muss ich doch die Determinante von einer darstellenden Matrix von g bezüglich irgendeiner beliebigen Basis B von V berechnen. Da hier nicht angegeben ist, welche Dimension V hat, habe ich eine ganz allgemeine Basis genommen, also [mm] B=(v_{1},...,v_{n}) [/mm] mit dim V=n.
Jetzt müssen die Bilder der Basis berechnet werden. Dann ist
[mm] g(v_{1})=v_{1}-p(v_{1}),....,g(v_{n})=v_{n}-p(v_{n})
[/mm]
Und diese Bilder muss ich wieder durch B darstellen, und hier taucht mein Problem auf. Ich bin mir nicht sicher,ob das so stimmt. Es muss ja gelten
[mm] r_{1}*v_{1}+...r_{n}*v_{n}=v_{1}-p(v_{1}) [/mm] für [mm] g(v_{1}).
[/mm]
Jetzt könnte ich eigentlich [mm] r_{1}=1 [/mm] setzen und hätte schonmal das [mm] v_{1}.
[/mm]
Aber ich verstehe nicht, was ich mit den [mm] p(v_{1}) [/mm] machen soll.
Kann mir da jemand weitehlefen?
Vielen Dank
lg
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| Aufgabe | Seien V und f wie in a).Man beweise folgende Aussagen:
1.Die Dimension des Eigenraums [mm] V_{f,1} [/mm] ist mindestens n-1 und die Dimension des Eigenraums [mm] V_{f,-1} [/mm] ist mindestens 1.
2.Die Abbildung f ist diagonalisierbar,die Eigenwerte von f sind 1 (falls [mm] dim_{\IR}V [/mm] >1) und -1 und der Eigenraum zum Eigenwert -1 ist 1-dimensional.
Solche Abbildungen heißen orthogonale Spiegelungen. |
Hallo,
ich versuche grad die beiden Aussagen zu beweisen, zunächst die 1.
Um die Dimension des Eigenraums zu bestimmen, muss ich erstmal den Eigenraum bestimmen und der ist = [mm] ker(id_{v}-f)=ker(id_{v}-f:v \mapsto [/mm] 2*l(v)) bzw. [mm] ker(id_{v}-f:v \mapsto [/mm] 2v-2p(v)).
Das heißt 2v-2p(v) muss =0 sein, also v=p(v).
Also besteht der Kern aus allen v, für die l(v)=0 ist. Aber davon weiß ich nicht, dass die Dimension des Eigenraums n-1 ist.
Irgendwie komm ich da grad nicht weiter.Kann mir jemand vielleicht weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 30.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Sei (V,f) ein endlichdimensionaler euklidisches Vektorraum
> mit [mm]dim_{\IR}V[/mm] >0 und sei w [mm]\in[/mm] V\ [mm]\{0\}.[/mm] Für alle v [mm]\in[/mm] V
> seien p(v) und l(v)=v-p(v) die orthogonale Projektion bzw.
> das Lot von v auf [mm](\IR*w)\perp.[/mm]
> Sei g:V [mm]\to[/mm] V, v [mm]\mapsto[/mm] p(v)-l(v).
<img src="/teximg/images/seitenanfang.gif" alt="^ Seitenanfang ^" height="13" width="98" border="0">
>
> Man beweise, dass g eine uneigentliche orthogonale
> Abbildung ist und dass [mm]f(v)=v-\bruch{2*f(v,w)}{f(w,w)}*w[/mm]
> gilt für alle v [mm]\in[/mm] V.
Hallo,
das soll sicher heißen [mm] $\red{g}(v)=v-\bruch{2*f(v,w)}{f(w,w)}*w$ [/mm] , oder?
>
> Also ich hab mir die Situation erstmal aufgezeichnet
Gute Idee.
> unzwar
> so, dass ich V als eine Gerade dargestellt habe.
Hmmm - ich bin mir nicht sicher, daß dies eine gesegnete Idee ist.
Denn wenn der Vektorraum V eindimensional ist, ist [mm] V^{\perp}=\{0\}, [/mm] und das ist ja etwas speziell.
Nimm doch lieber eine [mm] V=\IR^2, [/mm] das kann man auch schön zeichnen.
> Jetzt soll ich zeigen, dass g eine uneigentlich
> orthogonale abbilfung ist. Dazu muss ich zeigen, dass die
> Determinante von g -1 ist. Aber das gilt nur wenn und Du Du dann das Lot auf g ein
> Endomorphismus ist. Ich bin mir grad nicht sicher, ob ich
> hier die Linearität auch zeigen muss, damit bewiesen ist,
> dass g ein End. ist,denn das steht nicht in der Aufgabe.
Wenn ich mir nicht sicher wäre, ob ich es zeigen muß, dann würde ich es zeigen.
Entweder fällt Dir eine Begründung dafür ein, daß die Abbildung linear ist, oder Du rechnest es vor.
>
> Um nun zu zeigen, dass die Determinante von g =-1 ist, muss
> ich doch die Determinante von einer darstellenden Matrix
> von g bezüglich irgendeiner beliebigen Basis B von V
> berechnen.
Ja.
> Da hier nicht angegeben ist, welche Dimension V
> hat, habe ich eine ganz allgemeine Basis genommen, also
> [mm]B=(v_{1},...,v_{n})[/mm] mit dim V=n.
Prinzipiell richtig.
>
> Jetzt müssen die Bilder der Basis berechnet werden. Dann
> ist
> [mm]g(v_{1})=v_{1}-p(v_{1}),....,g(v_{n})=v_{n}-p(v_{n})[/mm]
Wieso?
Was hast Du dafür gerechnet?
Es ist doch g(v):=p(v)-l(v)=p(v)-(v-p(v)).
Idee: nimm mal eine nicht ganz so allgemeine Basis.
Du kannst doch den Vektor w durch n-1 Vektoren [mm] v_2, [/mm] ..., [mm] v_n [/mm] zu einer ONB von V ergänzen, ich denke, mit dieser arbeitet es sich besser.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 So 16.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Jetzt müssen die Bilder der Basis berechnet werden. Dann
> > ist
> > [mm]g(v_{1})=v_{1}-p(v_{1}),....,g(v_{n})=v_{n}-p(v_{n})[/mm]
>
> Wieso?
> Was hast Du dafür gerechnet?
>
> Es ist doch g(v):=p(v)-l(v)=p(v)-(v-p(v)).
Ja ich hatte mich vertan.So ist es richtig.
>
> Idee: nimm mal eine nicht ganz so allgemeine Basis.
>
> Du kannst doch den Vektor w durch n-1 Vektoren [mm]v_2,[/mm] ...,
> [mm]v_n[/mm] zu einer ONB von V ergänzen, ich denke, mit dieser
> arbeitet es sich besser.
Ok, kann ich deshalb tun, weil der Vektor w linear unabhängig ist und B eine Basis.Ich glaube, das müsste der Austauschsatz von Steinitz sein oder?
Also ich habe eine [mm] ONB=(w,v_{2},...,v_{n}).
[/mm]
Jetzt berechne ich die Bilder:
g(w)=p(w)-l(w)=p(w)-(w-p(w))=2p(w)-w=w-2l(w) und dieses Bild muss ich durch die Orthonormalbasis ausdrücken. Das wäre g(w)=1*w+...
So, jetzt hab ich das gleiche Problem wie vorhin. Ich muss 2+l(w) durch die Vektoren [mm] v_{2},...v_{n} [/mm] ausdrücken. Das l(w) ist das Lot, das ich doch eigentlich gar nicht allein durch [mm] v_{2},...,v_{n} [/mm] ausdrücken, sondern dafür brauch ich auch das w. Also [mm] l(w)=1*w+a*v_{2}+....
[/mm]
Oder aber ich bleibe bei 2p(w)-w. Dann hab ich wieder g(w)=-1*w+2*w, weil das w wird auf sich selbst projiziert.
Und [mm] g(v_{2})=2p(v_{2})-v_{2}=-1*v_{2}+2*w [/mm] oder? Weil das [mm] v_{2} [/mm] wird ja auf w projiziert. Ist das richtig so?
lg
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> > > Jetzt müssen die Bilder der Basis berechnet werden. Dann
> > > ist
> > > [mm]g(v_{1})=v_{1}-p(v_{1}),....,g(v_{n})=v_{n}-p(v_{n})[/mm]
> >
> > Wieso?
> > Was hast Du dafür gerechnet?
> >
> > Es ist doch g(v):=p(v)-l(v)=p(v)-(v-p(v)).
>
> Ja ich hatte mich vertan.So ist es richtig.
Hallo,
also haben wir
g(v):=2p(v)-v.
> >
> > Idee: nimm mal eine nicht ganz so allgemeine Basis.
> >
> > Du kannst doch den Vektor w durch n-1 Vektoren [mm]v_2,[/mm] ...,
> > [mm]v_n[/mm] zu einer ONB von V ergänzen, ich denke, mit dieser
> > arbeitet es sich besser.
>
> Ok, kann ich deshalb tun, weil der Vektor w linear
> unabhängig ist und B eine Basis.Ich glaube, das müsste
> der Austauschsatz von Steinitz sein oder?
Mehreres: Austauschsatz bzw. Basisergänzungssatz, und dann aber natürlich noch, daß jeder euklidische Raum eine ONB hat.
Man könnte mit Steinitz eine Basis bekommen, deren erste Basisvektor w ist, und mit gram-Schmidt eine ONB daraus machen.
(Ich glaube eigentlich gar nicht, daß man das im Zusammenhang mit dieser Aufgabe genauer ausführen muß - aber es ist goldrichtig, darüber nachzudenken und eine Antwort auf Lager zu haben.).
>
> Also ich habe eine [mm]ONB=(w,v_{2},...,v_{n}).[/mm]
Gerade fällt mir ein, daß w ja nicht normiert ist.
Sagen wir also, daß Deine Basis eine Orthogonalbasis ist - das reicht uns.
Jetzt überlegen wir uns erstmal, daß der Raum [mm] (\IR*w)^{\perp}, [/mm] auf den durch g projiziert wird, der von [mm] v_2,...,v_n [/mm] erzeugte Raum ist, daß also
[mm] (\IR*w)^{\perp}=.
[/mm]
> Jetzt berechne ich die Bilder:
> g(w)=p(w)-l(w)=p(w)-(w-p(w))=2p(w)-w
Dreh- und Angelpunkt ist hier p(w), also die Abbildung p.
Was macht denn die orthogonale Projektion p von V auf [mm] (\IR*w)^{\perp}?
[/mm]
Dies:
[mm] p(a_1w+a_2v_2+...+a_nv_n):=a_2v_2+...+a_nv_n.
[/mm]
Damit kannst Du nun gemütlich p(w), [mm] p(v_i) [/mm] ausrechnen und die Darstellungsmatrix von g bzgl unserer OGB aufstellen.
> Oder aber ich bleibe bei 2p(w)-w. Dann hab ich wieder
> g(w)=-1*w+2*w, weil das w wird auf sich selbst projiziert.
Achtung: es soll nicht auf [mm] (\IR*w) [/mm] projiziert werden durch p, sondern auf [mm] (\IR*w)^{\perp} [/mm] !
Gruß v. Angela
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