uneigentliche Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
mein Problem:
Für welche Werte s,t [mm] \in \IR [/mm] existiert das uneigentliche Integral.
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{(1+x^{-1})^t}{(1+x)^s} dx}
[/mm]
Mein Ansatz:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{(1+x^{-1})^t}{(1+x)^s} dx}=\limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{\frac{(1+x^{-1})^t}{(1+x)^s} dx}.
[/mm]
Ich finde es schwer die Stammfunktion zu berechnen........
Komme irgendwie nicht darauf.
Hilft mir die Binomische Formel????
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 So 05.07.2009 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Sachsen-Junge,
wahrscheinlich idst es am besten, wenn Du den Integranden erst mal mit [mm] x^{t} [/mm] erweiterst, damit Du im Zähler dieselbe Klammer erhältst wie im Nenner und anschließend eine Fallunterscheidung (s=t, s<t, s>t) machst, um nach dem Kürzen der Klammer "übersichtlichere Verhältnisse" zu haben!
mfG!
Zwerglein
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> Für welche Werte s,t [mm]\in \IR[/mm] existiert das
> uneigentliche Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{(1+x^{-1})^t}{(1+x)^s} dx}[/mm]
>
> Mein Ansatz:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{(1+x^{-1})^t}{(1+x)^s} dx}=\limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{0}^{b}{\frac{(1+x^{-1})^t}{(1+x)^s} dx}.[/mm]
>
> Ich finde es schwer die Stammfunktion zu berechnen........
> Hilft mir die Binomische Formel????
> LG
Hallo,
ich würde mal vor dem Integrieren den
Term anders schreiben, denn es ist ja
$\ [mm] 1+x^{-1}=1+\bruch{1}{x}=\bruch{1+x}{x}$
[/mm]
und deshalb
$\ [mm] \frac{(1+x^{-1})^t}{(1+x)^s}=\frac{(1+x)^{t-s}}{x^t}$
[/mm]
Jetzt kann man auf den Zähler die bino-
mische Formel anwenden, dann jeden
Summanden durch [mm] x^t [/mm] dividieren und
dann untersuchen, für welche Glieder
die Integration von 0 bis [mm] \infty [/mm] problemlos
klappt.
Gruß Al
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