uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Mo 15.12.2014 | | Autor: | Aladdin |
| Aufgabe | Man untersuche folgende uneigentliche Integrale auf Konvergenz:
$ [mm] \integral_{2}^{\infty} \bruch{dx}{x(lnx)^\alpha }\, [/mm] $ mit $ [mm] \alpha [/mm] > 0 $ |
Guten Abend,
ich hatte vor einigen Tagen diese Aufgabe hier online gelöst
$ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} e^-^2^\left| x \right|\ [/mm] $
Und ich dachte mir ich gehe mal so vor, wie ich es vor einigen Tagen gemacht habe.
Nur habe ich das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich $ [mm] \integral_{2}^{\infty} \bruch{dx}{x(lnx)^\alpha }\, [/mm] $ mit $ [mm] \alpha [/mm] > 0 $ das integrieren soll.
Bei der neuen Aufgabe stört mich das [mm] \alpha [/mm] ein wenig.
hätte ich nur $ [mm] \integral_{2}^{\infty} \bruch{1}{x(lnx)} dx\, [/mm] $ wäre ja die Stammfunktion $ ln(ln(x)) $
kann mir jmd. bitte helfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Mo 15.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
für [mm] $\alpha=1$ [/mm] hast du schon einmal Divergenz, daraus folgt auch die Divergenz für [mm] $0<\alpha<1$.
[/mm]
Für [mm] $\alpha>1$ [/mm] (sogar [mm] $\alpha \neq [/mm] 1$) kannst du aber auch leicht eine Stammfunktion finden, subtituiere dafür [mm] $u:=\ln(x)$.
[/mm]
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Di 16.12.2014 | | Autor: | Aladdin |
Hallo,
wenn ich jetzt $ [mm] \alpha [/mm] = 2 $ nehme,
$ [mm] \integral_{2}^{\infty} \bruch{dx}{x(lnx)^2 }\, [/mm] $ =
$ [mm] \limes_{\lambda \to \infty} [/mm] $ $ [mm] [-\bruch{1}{ln(x)}] [/mm] $
wenn ich die obere Grenze einsetzte geht es gegen 0
wenn ich die untere Grenze einsetze kommt -1,44 ca raus.
$ 0-(-1,44)= 1,44 $
also konvergiert das uneigentliche Integral wenn $ [mm] \alpha [/mm] > 1 $ ist und bei $ [mm] \alpha [/mm] < 1 $ divergiert es.
Ist es so richtig?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Di 16.12.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest wirklich [mm] \alpha [/mm] allgemein nehmen. sonst kommt die Frage was ist mit [mm] \alpha=1.001.
[/mm]
wenn es für 2 gilt gibt das nur eine gute Vermutung, keinen Beweis.
Gruß ledum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Di 16.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Du sollst doch die Integrale nur auf Konvergenz untersuchen !
Andyv hats schon gesagt: substituiere u=lnx.
Dann ist [mm] \integral_{2}^{\infty} \bruch{dx}{x(lnx)^\alpha }=\integral_{ln 2}^{\infty} \bruch{du}{u^{\alpha} }
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Di 16.12.2014 | | Autor: | Aladdin |
Hallo,
$ [mm] \integral_{2}^{\infty} \bruch{dx}{x(lnx)^\alpha }=\integral_{ln 2}^{\infty} \bruch{du}{u^{\alpha} } [/mm] $ = $ [mm] \integral_{ln2}^{\infty} u^{-\alpha} [/mm] $ $ du $ = $ [mm] \bruch{u^{1-\alpha}}{{1-\alpha}} [/mm] $
nun rücksubstitution:
$ [mm] \bruch{ln^{1-\alpha}(x)}{{1-\alpha}} [/mm] $
$ [mm] \limes_{\lambda \to \infty} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{ln(2)}^{\lambda} \bruch{dx}{x(lnx)^\alpha }\, [/mm] $ = $ [mm] \limes_{\lambda \to \infty}$ [/mm] $ [mm] \bruch{ln^{1-\alpha}(x)}{{1-\alpha}} [/mm] $
wäre das jetzt nun richtig? bis hierhin?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Di 16.12.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> [mm]\integral_{2}^{\infty} \bruch{dx}{x(lnx)^\alpha }=\integral_{ln 2}^{\infty} \bruch{du}{u^{\alpha} }[/mm]
> = [mm]\integral_{ln2}^{\infty} u^{-\alpha}[/mm] [mm]du[/mm] =
> [mm]\bruch{u^{1-\alpha}}{{1-\alpha}}[/mm]
>
> nun rücksubstitution:
>
> [mm]\bruch{ln^{1-\alpha}(x)}{{1-\alpha}}[/mm]
>
>
>
> [mm]\limes_{\lambda \to \infty}[/mm] = [mm]\integral_{ln(2)}^{\lambda} \bruch{dx}{x(lnx)^\alpha }\,[/mm]
> = [mm]\limes_{\lambda \to \infty}[/mm]
> [mm]\bruch{ln^{1-\alpha}(x)}{{1-\alpha}}[/mm]
>
> wäre das jetzt nun richtig? bis hierhin?
Das ist nicht die Frage. Was du tust ist überflüssig.
Betrachte [mm]\integral_{ln 2}^{\infty} \bruch{du}{u^{\alpha} }[/mm] (ohne überflüssige Rücksubstitution), und du bist fertig.
Gruß Abakus
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Di 16.12.2014 | | Autor: | Aladdin |
Hallo.
ja das ist sehr komisch. So nah am Ziel aber doch noch so fern.
habe es mir die ganze zeit angeschaut, aber irgendwie komme ich nicht drauf,
was ihr meint.
Wenn ich mir das Integral anschaue, weiß ich nicht worauf ihr drauf kommt.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:30 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
> ja das ist sehr komisch. So nah am Ziel aber doch noch so
> fern.
> habe es mir die ganze zeit angeschaut, aber irgendwie
> komme ich nicht drauf,
> was ihr meint.
>
> Wenn ich mir das Integral anschaue, weiß ich nicht worauf
> ihr drauf kommt.
Was hast Du über Integrale der Form
$ [mm] \integral_{1}^{\infty} \bruch{dx}{x^{\alpha} } [/mm] $
gelernt?
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Aladdin |
Hallo,
ich habe mir mein Skript angeschaut, wir haben als Literatur Königsberger kapitel 11 bekommen für die Integralrechnung.
Da sind wir bis Satz. 11.8 gekommen Riemannsche Summen.
Bis dahin habe ich nichts gefunden, was ich in der Form nun jetzt habe.
11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration
11.2 Regelfunktionen
11.3 Integration der Regelfunktionen über
kompakte Intervalle
11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Stammfunktionen zu Regelfunktionen
11.6 Integration elementarer Funktionen
11.7 Integration normal konvergenter Reihen
evtl. 11.7 wäre vllt für mich jetzt hier Interessant
aber dort steht nichts drinne außer Integrallogarithmus
$ Li(x):= [mm] \integral_{0}^{x} \bruch{dt}{lnt}\ [/mm] $
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe mir mein Skript angeschaut, wir haben als
> Literatur Königsberger kapitel 11 bekommen für die
> Integralrechnung.
> Da sind wir bis Satz. 11.8 gekommen Riemannsche Summen.
> Bis dahin habe ich nichts gefunden, was ich in der Form
> nun jetzt habe.
>
> 11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration
> 11.2 Regelfunktionen
> 11.3 Integration der Regelfunktionen über
> kompakte Intervalle
> 11.4 Der Hauptsatz der Differential- und
> Integralrechnung.
> Stammfunktionen zu Regelfunktionen
> 11.6 Integration elementarer Funktionen
> 11.7 Integration normal konvergenter Reihen
>
> evtl. 11.7 wäre vllt für mich jetzt hier Interessant
Dir wurde eine Aufgabe zu uneigentlichen Integralen gestellt. Also müsst Ihr doch dazu etwas gemacht haben !
Interessant wäre, was Ihr dazu gemacht habt.
FRED
>
> aber dort steht nichts drinne außer Integrallogarithmus
>
> [mm]Li(x):= \integral_{0}^{x} \bruch{dt}{lnt}\[/mm]
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Aladdin |
Nicht unbedingt,
dass ist eine alte klausuraufgabe.
anscheinend sind wir dann noch nicht so weit.
hättest du evtl ein Skript wo es gut erklärt wird bzw. Die Definition auftaucht?
Da der prof nur stückweise das Skript hochlädt kann es bestimmt ne weile noch dauern.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Nicht unbedingt,
> dass ist eine alte klausuraufgabe.
> anscheinend sind wir dann noch nicht so weit.
> hättest du evtl ein Skript wo es gut erklärt wird bzw.
> Die Definition auftaucht?
http://www.drchristophbock.de/ElAna.pdf
Seite 141 ff
FRED
> Da der prof nur stückweise das Skript hochlädt kann es
> bestimmt ne weile noch dauern.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Do 18.12.2014 | | Autor: | Aladdin |
Guten Tag,
ich habe jetzt gelernt,
dass beim zweiten Fall $ [mm] \alpha \ne [/mm] 1 $
$ [mm] \integral_{1}^{\infty} \bruch{dx}{x^{\alpha} } [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{-\alpha+1}* x^{-\alpha+1} |^\infty_1$
[/mm]
Bei meinem Fall:
$ [mm] \integral_{2}^{\infty} \bruch{dx}{x(lnx)^\alpha }\, [/mm] $ = $ [mm] \integral_{ln 2}^{\infty} \bruch{du}{u^{\alpha} } [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{-\alpha+1}* u^{-\alpha+1} |^\infty_{ln2}$
[/mm]
aber nun fehlt mir immer noch, wie ich nun hier weiter Argumentieren könnte :S
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Do 18.12.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Guten Tag,
>
> ich habe jetzt gelernt,
>
> dass beim zweiten Fall [mm]\alpha \ne 1[/mm]
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty} \bruch{dx}{x^{\alpha} }[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{-\alpha+1}* x^{-\alpha+1} |^\infty_1[/mm]
Das ist ok
>
> Bei meinem Fall:
>
> [mm]\integral_{2}^{\infty} \bruch{dx}{x(lnx)^\alpha }\,[/mm] =
> [mm]\integral_{ln 2}^{\infty} \bruch{du}{u^{\alpha} }[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{-\alpha+1}* u^{-\alpha+1} |^\infty_{ln2}[/mm]
>
> aber nun fehlt mir immer noch, wie ich nun hier weiter
> Argumentieren könnte :S
Du machst zu viele Schritte auf einmal, und verrenst dich dabei.
Bilden wir doch erstmal die Stammfunktion zu [mm] f(x)=\frac{1}{x\cdot\left(\ln(x)\right)^{\alpha}} [/mm] mit dem unbestimmten Integral und der Substitution.
Also:
[mm] F(x)=\int\frac{1}{x\cdot\left(\ln(x)\right)^{\alpha}}dx
[/mm]
Mit [mm] u=\ln(x) [/mm] also [mm] $\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\leftrightarrow dx=x\dot du$ ergibt sich
=\int\frac{u^{\alpha}}du
=\int u^{-\alpha}du
=\frac{1}{1-\alpha}\cdot u^{1-\alpha}
Rücksubstitutuion
=\frac{1}{1-\alpha}\cdot\left(\ln(x)\right)^{1-\alpha}
Nun bestimmen wir damit das uneigentliche Integral
\int\limits_{2}^{\infty}\frac{1}{x\cdot\left(\ln(x)\right)^{\alpha}}dx
=\lim\limits_{b\to\infty}\int\limits_{2}^{b}\frac{1}{x\cdot\left(\ln(x)\right)^{\alpha}}dx
=\lim\limits_{b\to\infty}\left[\frac{1}{1-\alpha}\cdot\left(\ln(b)\right)^{1-\alpha}-\frac{1}{1-\alpha}\cdot\left(\ln(2)\right)^{1-\alpha}\right]
Nun lasse b\to\infty laufen, und schaue mal, was passiert.
>
> MfG
>
Marius
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Do 18.12.2014 | | Autor: | abakus |
Hallo Marius,
eine Rücksubstitution ist doch nicht erfordelich, weil bei der Substitution die Integrationsgrenzen ordnungsgemäß substituiert wurden.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Do 18.12.2014 | | Autor: | abakus |
> Guten Tag,
>
> ich habe jetzt gelernt,
>
> dass beim zweiten Fall [mm]\alpha \ne 1[/mm]
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty} \bruch{dx}{x^{\alpha} }[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{-\alpha+1}* x^{-\alpha+1} |^\infty_1[/mm]
>
> Bei meinem Fall:
>
> [mm]\integral_{2}^{\infty} \bruch{dx}{x(lnx)^\alpha }\,[/mm] =
> [mm]\integral_{ln 2}^{\infty} \bruch{du}{u^{\alpha} }[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{-\alpha+1}* u^{-\alpha+1} |^\infty_{ln2}[/mm]
>
> aber nun fehlt mir immer noch, wie ich nun hier weiter
> Argumentieren könnte :S
>
> MfG
>
Hallo, es gilt [mm] \int_{a}^{\infty}{f(u) du}=\lim_{b\to \infty}\int_{a}^{b}{f(u) du}[/mm]
Du musst also [mm]\bruch{1}{-\alpha+1}* u^{-\alpha+1} |^b_{ln2}\\
=\bruch{1}{-\alpha+1}* b^{-\alpha+1} -\bruch{1}{-\alpha+1}* (ln(2))^{-\alpha+1} [/mm] aufstellen und b gegen unendlich gehen lassen.
Wesentlich ist dabei das Verhalten von [mm]
\bruch{1}{-\alpha+1}* b^{-\alpha+1} =\bruch{1}{(-\alpha+1)* b^{\alpha-1}} [/mm] in den Fällen [mm] $\alpha [/mm] >1$ und [mm] $\alpha [/mm] <1$.
Gesondert muss der Fall [mm] $\alpha [/mm] =1$ betrachtet werden, weil die Stammfunktion hier ein anderes Aussehen hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Do 18.12.2014 | | Autor: | Aladdin |
Guten abend,
$ [mm] \bruch{1}{-\alpha+1}\cdot{} b^{-\alpha+1} =\bruch{1}{(-\alpha+1)\cdot{} b^{\alpha-1}} [/mm] $ wenn ich b gegen unendlich laufen lasse habe ich ja 0.
also [mm] 0-\bruch{1}{(-\alpha+1)(ln(2))^{\alpha-1}}\cdot{} [/mm]
$ ln(2) $ ist ca $ 0,69 $
geht dieser Bruch auch gegen 0?
sodass 0-0 = 0 und es existiert ein Grenzwert.
also 1.Fall a = 1:
divergiert.
2.Fall a [mm] \ne [/mm] 1 konvergiert da ein Grenzwert existiert?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Do 18.12.2014 | | Autor: | abakus |
> Guten abend,
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> [mm]\bruch{1}{-\alpha+1}\cdot{} b^{-\alpha+1} =\bruch{1}{(-\alpha+1)\cdot{} b^{\alpha-1}}[/mm]
> wenn ich b gegen unendlich laufen lasse habe ich ja 0.
Sicher? Für [mm]\alpha<1[/mm] solltest du über die eben getroffene Aussage nochmal nachdenken.
>
> also [mm]0-\bruch{1}{(-\alpha+1)(ln(2))^{\alpha-1}}\cdot{}[/mm]
>
> [mm]ln(2)[/mm] ist ca [mm]0,69[/mm]
>
> geht dieser Bruch auch gegen 0?
Auch das hängt von [mm]\alpha[/mm] ab.
>
> sodass 0-0 = 0 und es existiert ein Grenzwert.
>
> also 1.Fall a = 1:
> divergiert.
Für [mm]\alpha=1[/mm] ist der Term gar nicht definiert.
In diesem Fall brauchst du die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{u^1}= \bruch{1}{u} [/mm], und das ist NICHT [mm] \bruch{1}{-1+1}\cdot{} u^{-1+1}[/mm].
>
> 2.Fall a [mm]\ne[/mm] 1 konvergiert da ein Grenzwert existiert?
Er existiert nicht immer.
>
> LG
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