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uneigentliche Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:52 Mo 20.05.2019
Autor: rubi

Hallo zusammen,

ich möchte das Integral [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{ln(x)} dx} [/mm] auf Konvergenz untersuchen.

Ich kann das Integral dann aufspalten in zwei Integrale mit den Grenzen x = 0 bis x = 1 und x = 1 bis x = 2.
Ich vermute, dass das Integral nicht konvergiert.
Allerdings ist mir nicht klar, mit welchem Verfahren ich dies beweisen kann.

Kann mir jemand einen Ansatz liefern wie dies geht ?

Danke und viele Grüße
Rubi



        
Bezug
uneigentliche Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:35 Di 21.05.2019
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>
> ich möchte das Integral [mm]\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{ln(x)} dx}[/mm]
> auf Konvergenz untersuchen.
>
> Ich kann das Integral dann aufspalten in zwei Integrale mit
> den Grenzen x = 0 bis x = 1 und x = 1 bis x = 2.
> Ich vermute, dass das Integral nicht konvergiert.
> Allerdings ist mir nicht klar, mit welchem Verfahren ich
> dies beweisen kann.
>
> Kann mir jemand einen Ansatz liefern wie dies geht ?


Mit der Substitution $t = ln x$ bekommen wir  [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{ln(x)} dx}= \int_0^{ln 2} \frac{e^t}{t} dt[/mm] .

Nun ist für t>0:  [mm] \frac{e^t}{t} \ge \frac{1}{t} [/mm] und das Integral  [mm] \int_0^{ln 2} \frac{1}{t} [/mm] dt divergent.

Das Majorantenkriterium liefert dann die Divergenz von [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{1}{ln(x)} dx}. [/mm]

Damit ist [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{1}{ln(x)} dx} [/mm] divergent.


>
> Danke und viele Grüße
>  Rubi
>
>  


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