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| Aufgabe | Man entscheide, ob folgende uneigentliche Integrale konvergieren:
a) [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{dx}{log x}} [/mm] (hinter der 1 ist noch ein Pfeil nach unten)
b) [mm] \integral_{1}^{\infty}{sin^2(\bruch{1}{x}) dx} [/mm] (hinterm [mm] \infty [/mm] Pfeil nach oben)
c) [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^2e^{-x} dx} [/mm] (hinterm [mm] \infty [/mm] Pfeil nach oben)
d) [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^xe^{-x^2} dx} [/mm] (hinterm [mm] \infty [/mm] Pfeil nach oben)
Hinweis: Beweisen Sie für x>0 die Ungleichung log x [mm] \le [/mm] x-1 und verwenden Sie diese für Abschätzungen in a) und d). Bei b) verwenden Sie eine passende Substitution und bei c) partielle Integration. |
Hallo, ich hab anscheinend das integrieren verlernt...Bis auf Aufgabe c) konnte ich keine lösen, hier mal mein Ansatz für a)
[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{dx}{log x}}=\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{log x} dx} [/mm] Substitution: setze t= log x
[mm] \integral_{t(1)}^{t(2)}{\bruch{1}{t}*e^t dt} [/mm] mit partieller Integration folgt dann [mm] (F(x)=log(t),f(x)=\bruch{1}{t}, g(x)=e^t, g'(x)=e^t)
[/mm]
[mm] log(t)e^t-\integral_{t(1)}^{t(2)}{log(t)e^t dt}
[/mm]
Tja...und ende.
bei b) hab ich als "passende" substitution [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gewählt, was allem anschein nach, aber doch nicht so passend war, denn auch hier bin ich nicht weiter gekommen.
Bei Aufg c) konnte ich zumindest das unbestimmte Integral berechnen, das ist [mm] -e^{-x}x^2-2e^{-x}x-2e^{-x}. [/mm] Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich jetzt entscheiden ob [mm] -e^{-x}x^2-2e^{-x}x-2e^{-x} [/mm] konvergiert für x [mm] \to \infty, [/mm] ich hab folgendes versucht:
[mm] -e^{-x}x^2-2e^{-x}x-2e^{-x}=-e^{-x}(x^2+2x+2)=-\bruch{1}{e^x}(x^2+2x+2)=-\bruch{x^2+2x+2}{e^x}=-\bruch{x^2}{e^x}-\bruch{2x}{e^x}-\bruch{2}{e^x} \to [/mm] 0 für x [mm] \to \infty
[/mm]
und für x=0 ist [mm] -e^{-x}x^2-2e^{-x}x-2e^{-x}=-2
[/mm]
also bekomme ich als Ergebnis 0-2=-2 heraus, ist das Vorgehen so in etwa richtig?
Vielen Dank schonmal im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Di 15.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo rainman!
Bis auf das 3. Integral sind m.E. die Stammfunktionen nicht geschlossen darstellbar. Von daher musst Du hier auf Abschätzungen zurückgreifen, von denen man die entsprechende Stammfunktion bilden kann.
Zum Beispiel gilt: [mm] $\ln(x) [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ x-1$ .
Gruß
Loddar
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