uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe und muss das uneigentliche Integral auf Konvergenz überprüfen
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(\wurzel{(x-x^{2})}} dx}
[/mm]
Mein Ansatz dazu ist
Da 0<a<1 ist der Integrand stetig auf [0,a], somit auch integrierbar auf [0,a].
Meine Frage aber ist, ob ich überhaupt die 0 als Grenze wählen kann, da mein Nenner ja 0 wird?
|
|
| |
|
Hallo Sandra,
> Hallo zusammen,
>
> ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe und muss
> das uneigentliche Integral auf Konvergenz überprüfen
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(\wurzel{(x-x^{2})}} dx}[/mm]
>
> Mein Ansatz dazu ist
>
> Da 0<a<1 ist der Integrand stetig auf [0,a], somit auch
> integrierbar auf [0,a].
Warum ist der INtegrand auch in x=0 stetig, wenn er doch dort gar nicht definiert?
>
> Meine Frage aber ist, ob ich überhaupt die 0 als Grenze
> wählen kann, da mein Nenner ja 0 wird?
Klar. Anderes Beispiel: [mm] \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}} [/mm] konvergiert, und das obwohl x=0 untere Grenze ist und für den Integranden gar nicht definiert ist.
Zur Lösung des Problems: Du hast mehrere Möglichkeiten:
1. Du bist in der Lage eine Stammfunktion des Integranden zu finden. Danach führe die Grenzwertbetrachtung durch.
2. Finde eine geeignete Abschätzung um die Konvergenz/Divergenz des Integrals zu zeigen.
3. Benutze andere Kriterien um das Konvergenzverhalten zu untersuchen.
Meistens kommt man mit der Möglichkeit 2 sehr gut voran. Mit dem solltest du eventuell auch versuchen etwas zu bewerkstelligen (ohne, dass ich dir damit sagen möchte, dass das wirklich zum Ziel führt).
Übrigens: Das Integral konvergiert. 
Bei Fragen einfach noch einmal melden.
Schönes Wochenende!
>
>
|
|
|
| |
|
Danke für den tollen Hinweis !
ich habe nun die Grenzen [a, 1/2] gesetzt und mit einer Abschätzung konvergiert meine Reihe gegen 1.
Ist es hier z.B. auch sinnvoll, eine Abschätzung zu machen?
[mm] \integral_{1}^{\infty}{ \bruch{e^{-x}}{x}dx}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Sa 16.08.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Sandra,
> Danke für den tollen Hinweis !
> ich habe nun die Grenzen [a, 1/2] gesetzt und mit einer
> Abschätzung konvergiert meine Reihe gegen 1.
Das klingt ein bisschen seltsam. Möchtest du eventuell zur Kontrolle noch einmal deine Schritte sauber hier aufschreiben?
Obiges klingt nicht wirklich so, dass es mathematisch sauber ist.
Liebe Grüße
>
>
> Ist es hier z.B. auch sinnvoll, eine Abschätzung zu
> machen?
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{e^{-x}}{x}dx}[/mm]
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Sa 16.08.2014 | | Autor: | Sandra_161 |
Ja natürlich kann ich hier auch vorrechnen.
0<a<1/2
[mm] \wurzel{\bruch{1}{(1-x)}} \le \wurzel{2},
[/mm]
Also gilt dann auch :
[mm] \wurzel{\bruch{1}{x(1-x)}} \le \wurzel{\bruch{2}{(x)}}
[/mm]
Damit folgt schließlich
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{a}^{1/2}{\wurzel{\bruch{1}{x(1-x)}} dx} \le \limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{a}^{1/2}{\wurzel{\bruch{2}{x}} dx} [/mm] = ... = 2.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 So 17.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja natürlich kann ich hier auch vorrechnen.
>
>
> 0<a<1/2
>
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{(1-x)}} \le \wurzel{2},[/mm]
>
> Also gilt dann auch :
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{x(1-x)}} \le \wurzel{\bruch{2}{(x)}}[/mm]
>
> Damit folgt schließlich
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{a}^{1/2}{\wurzel{\bruch{1}{x(1-x)}} dx} \le \limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{a}^{1/2}{\wurzel{\bruch{2}{x}} dx}[/mm]
> = ... = 2.
Hmmmm.... Du meinst wohl [mm] \limes_{a\rightarrow 0} [/mm]
Die Ex. des Grenzwerts [mm] \limes_{a\rightarrow 0} \integral_{a}^{1/2}{\wurzel{\bruch{1}{x(1-x)}} dx} [/mm] musst Du noch zeigen !
Ein Beispiel: es gilt
$|sin(1/a)| [mm] \le [/mm] 1$ für alle a [mm] \ne [/mm] 0.
Es folgt aber nicht
[mm] $\limes_{a\rightarrow 0}|sin(1/a)| \le \limes_{a\rightarrow 0}1=1$
[/mm]
Denn der Limes [mm] \limes_{a\rightarrow 0}|sin(1/a)| [/mm] ex. nicht.
FRED
>
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Sa 16.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den tollen Hinweis !
> ich habe nun die Grenzen [a, 1/2] gesetzt und mit einer
> Abschätzung konvergiert meine Reihe gegen 1.
Reihe ???
Solange Du Deine Abschätzungen verschweigst hab ich keine Lust darüber nachzudenken, ob Du recht hast.
Wie auch immer, fertig bist Du nicht, denn
$ [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(\wurzel{(x-x^{2})}} dx} [/mm] $ konvergiert [mm] \gdw [/mm] die Integrale
$ [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1/2}{(\wurzel{(x-x^{2})}} dx} [/mm] $ und
$ [mm] \integral_{1/2}^{1}{\bruch{1}{(\wurzel{(x-x^{2})}} dx} [/mm] $ sind beide konvergent.
FRED
>
>
> Ist es hier z.B. auch sinnvoll, eine Abschätzung zu
> machen?
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{e^{-x}}{x}dx}[/mm]
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Sa 16.08.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Moin Fred,
> Wie auch immer, fertig bist Du nicht, denn
>
>
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(\wurzel{(x-x^{2})}} dx}[/mm]
> konvergiert [mm]\gdw[/mm] die Integrale
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1/2}{(\wurzel{(x-x^{2})}} dx}[/mm]
Das sollte doch sicherlich
[mm] \integral_{0}^{1/2}{\bruch{1}{(\wurzel{(x-x^{2})}} dx}
[/mm]
heißen - oder?
Viele Grüße
> und
>
> [mm]\integral_{1/2}^{1}{\bruch{1}{(\wurzel{(x-x^{2})}} dx}[/mm] sind
> beide konvergent.
>
> FRED
> >
> >
> > Ist es hier z.B. auch sinnvoll, eine Abschätzung zu
> > machen?
> >
> > [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{e^{-x}}{x}dx}[/mm]
> >
> >
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 So 17.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Moin Fred,
>
> > Wie auch immer, fertig bist Du nicht, denn
> >
> >
> >
> > [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(\wurzel{(x-x^{2})}} dx}[/mm]
> > konvergiert [mm]\gdw[/mm] die Integrale
> >
> > [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1/2}{(\wurzel{(x-x^{2})}} dx}[/mm]
>
> Das sollte doch sicherlich
>
> [mm]\integral_{0}^{1/2}{\bruch{1}{(\wurzel{(x-x^{2})}} dx}[/mm]
>
> heißen - oder?
Klar, Du hast recht.
FRED
>
>
> Viele Grüße
> > und
> >
> > [mm]\integral_{1/2}^{1}{\bruch{1}{(\wurzel{(x-x^{2})}} dx}[/mm] sind
> > beide konvergent.
> >
> > FRED
> > >
> > >
> > > Ist es hier z.B. auch sinnvoll, eine Abschätzung zu
> > > machen?
> > >
> > > [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{e^{-x}}{x}dx}[/mm]
> > >
> > >
> > >
> >
>
|
|
|
|
