unendlich oft diff'bare Fkt. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:57 Sa 10.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $C^{\infty}(0,1)$ [/mm] der [mm] $\mathbb{R}$-Vektorraum [/mm] der unendlich oft differenzierbaren Funktionen. Betrachten Sie die lineare Abbildung
[mm] $D:C^{\infty}(0,1)\to C^{\infty}(0,1)$ [/mm]
mit [mm] $f\mapsto [/mm] f'$
für [mm] $f\in C^{\infty}(0,1)$ [/mm] |
Hi, ich habe gerade eine grundlegende Frage zu dieser Abbildung. Und zwar erschließt sich mir gerade irgendwie nicht so recht wieso diese Abbildung linear ist.
Wenn ich einfach irgendeine Funktion nehme wie
[mm] $x^3$, [/mm] die ja unendlich oft diff'bar ist, dann habe ich [mm] $3x^2$ [/mm] und das ist doch nicht linear...
Wo steckt hier mein Denkfehler?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:19 Sa 10.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
nicht f soll linear sein, sondern D !
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:30 Sa 10.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Aber wie kann diese Abbildung linear sein?
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> Aber wie kann diese Abbildung linear sein?
Hallo,
fragen wir uns erstmal etwas anderes: was macht die Abbildung D?
Sie ordnet jeder Funktion aus [mm] C^{\infty}(0,1) [/mm] eine Funktion zu, die auch wieder aus [mm] C^{\infty}(0,1) [/mm] ist:
D: [mm] C^{\infty}(0,1)\to C^{\infty}(0,1) [/mm] mit
D(f):=f' für alle [mm] f\in C^{\infty}(0,1).
[/mm]
Behauptet wird nun nicht, daß alle Ableitungen linear sind (oder ähnliche Krausitäten).
Behauptet wird: die Abbildung D ist linear.
Du mußt also für D die Linearitätsbedingungen zeigen.
Seien [mm] f,g\in C^{\infty}(0,1), [/mm] sei [mm] \lambda\in \IR.
[/mm]
Es ist
D(f+g)=...
und
[mm] D(\lambda [/mm] f)=...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Sa 10.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann einfach so:
$D(f+g)=f'+g'=D(f)+D(g)$
[mm] $D(\lambda f)=\lambda f'=\lambda [/mm] D(f)$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Sa 10.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
im Prinzip ja, wobei man zwischen dem ersten und dem zweiten Term noch ein $ ... = (f+g)'=... $ bzw. $ [mm] ...=(\lambda [/mm] f)'=... $ und einen Hinweis auf Differentiationsregeln einfügen sollte.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Sa 10.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Stimmt. Das ist ein guter Hinweis.
Vielen Dank für die Hilfe.
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