unendlich viele lös. q^(2)=-1 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:14 Mi 28.09.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | a) Man zeige, dass es unendlich viel q in [mm] $\textbf{H} [/mm] = [mm] \textbf{R} +\textbf{R}i [/mm] + [mm] \textbf{R}j+\textbf{R}k$ [/mm] gibt mit [mm] $q^{2}=-1$
[/mm]
b) Sei nun
[mm] u=\frac{1}{2}(1+i+j+k)$, [/mm] Man zeige dass [mm] $\textbf{Z}u+\textbf{Z}i+\textbf{Z}j+\textbf{Z}k$ [/mm] ein Unterring von [mm] $\textbf{H}$ [/mm] ist. |
Hallo,
a) Es ist [mm] $\textbf{H}= \vektor{u & v \\ -\overline{v} & \overline{u}}$ [/mm] und es gelte $u := a+bi , v= c + d i, $
Dann erhält man durch [mm] $\vektor{-1&0\\0&-1}=\vektor{u&v\\-\overline{v}&\overline{u}}\vektor{u&v\\-\overline{v}&\overline{u}} [/mm] = [mm] \vektor{u^{2}-v\overline{v} & uv + v\overline{u} \\ -u\overline{v} - \overline{u}\overline{v} & -v\overline{v} + \overline{u}^{2}}$
[/mm]
also :
$1: -1 = [mm] u^{2}-v\overline{v} [/mm] = [mm] a^{2}+2abi [/mm] - [mm] b^{2} [/mm] - [mm] c^{2}-d^{2}$
[/mm]
$2: [mm] \overline{uv} [/mm] = [mm] u\overline{v} \gdw \overline{u} [/mm] = -u$
$3: -1 = [mm] -(|v|^{2})+\overline{u}^{2}$ [/mm] mit $2 [mm] \Rightarrow [/mm] -1 = [mm] u^{2} [/mm] - [mm] |v|^{2}$ [/mm] also wie (1)
b)
[mm] $\forall [/mm] a,b [mm] \in \textbf{Z}u+\textbf{Z}i +\textbf{Z}k+\textbf{Z}j, [/mm] a:= xu+yi+vk+wj , b:= qu+ri+sk+tj:$
1. $a-b = ((x-q)u+(y-r)i+(v-s)k+(w-t)j) [mm] \in \textbf{Z}u+\textbf{Z}i +\textbf{Z}k+\textbf{Z}j$
[/mm]
2. sei $ab= (xu+yi+vk+wj)(qu+ri+sk+tj)$ dann lasse ich die Terme ohne u weg da diese dargestellt werden können und betrachte die Terme mit u:
$(jquw + jtux + kquv + ksux + [mm] qu^{2}x [/mm] + iquy + irux) = u(jqw+jtx+kqv+ksx+qux+iqy+irx) $
dann nur noch [mm] $qu^{2}x$: [/mm]
[mm] $qu^{2}x [/mm] = qx(-1+i+j+k)$
also ist $ab [mm] \in \textbf{Z}u [/mm] + [mm] \textbf{Z}i +\textbf{Z}k+ \textbf{Z}j$
[/mm]
Stimmt das so?
Bin für jegliche Hilfestellung dankbar.
Gruss
kushkush
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Erst einmal zu b).
Der Schluß in 2: ist nicht korrekt. [mm]v \neq 0[/mm] ist nicht vorausgesetzt.
Ich weiß nicht, was du über den Quaternionenkalkül weißt. Man kann
[mm]\operatorname{Im} \mathbb{H} = \mathbb{R} \operatorname{i} + \mathbb{R} \operatorname{j} + \mathbb{R} \operatorname{k}[/mm]
als [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorraum mit [mm]\mathbb{R}^3[/mm] identifizieren und für [mm]x,y \in \operatorname{Im} \mathbb{H}[/mm] in kanonischer Weise das Standardskalarprodukt [mm]\langle x,y \rangle[/mm] und das Vektorprodukt [mm]x \times y[/mm] übernehmen. Dann gilt
[mm]xy = - \langle x,y \rangle + x \times y \, ; \ \ x,y \in \operatorname{Im} \mathbb{H}[/mm]
Speziell für [mm]x=y=q[/mm] folgt:
[mm]q^2 = - \langle q,q \rangle + q \times q = - \langle q,q \rangle[/mm]
Daher gilt für [mm]q \in \operatorname{Im} \mathbb{H}[/mm]
[mm]q^2 = -1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \langle q,q \rangle = 1[/mm]
Damit sind alle [mm]q \in \operatorname{Im} \mathbb{H}[/mm], die auf der Einheitssphäre liegen, Lösungen dieser Gleichung. Jetzt wäre noch zu überlegen, daß das alle Lösungen sind.
Auf dieses Ergebnis solltest du auch mit deiner Rechnung in [mm]a,b,c,d[/mm] kommen:
[mm]q^2 = -1 \ \ \Leftrightarrow \ \ a=0 \, , \ \ b^2 + c^2 + d^2 = 1[/mm]
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Hallo Leopold,
bei a)
0. [mm] Im(a^{2}+2abi [/mm] - [mm] b^{2}) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] ab = 0
1. [mm] $(u+\overline{u}) [/mm] = 2a $
2.$a=0 [mm] \Rightarrow u^{2}- |v|^{2} [/mm] = [mm] -b^{2}-c^{2}-d^{2} [/mm] = -1 [mm] \gdw b^{2}+y^{2}+d^{2} [/mm] = 1$
3. $b=0, d [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \Rightarrow [/mm] c = [mm] (1-d^{2})^{1/2} \in [/mm] [0,1]$
also gibt es überabzählbar viele $q [mm] \in \textbf{H}$ [/mm] mit [mm] $q^{2}=-1$
[/mm]
gibt es bei b) eine Alternative zu der aufwändigen Rechnung ?
>
Vielen Dank .
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 30.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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