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| Aufgabe | Zeigen Sie das folgende Reihe die angegegebene Summe hat:
[mm] \summe_{=1}^{\infty}\bruch{1}{n*(n+1)(n+2)}=\bruch{1}{4} [/mm] |
Ich habe mittels PBZ folgendes erhalten:
[mm] \bruch{1}{2n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2(n+2)}
[/mm]
Ich habe außerdem festgestellt, das sich die ungeraden glieder von [mm] -\bruch{1}{n+1} [/mm] mit [mm] \bruch{1}{2n}- [/mm] zu Null addieren, leider hat mir das bis jetzt noch nicht genützt. ;(
Bitte helft mir!
grüße
phys1kauer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo phys1kAueR!
Zerlege das Ergebnis Deiner Partiabruchzerlegung noch weiter:
[mm] $\bruch{1}{2*n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2*(n+2)}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2*n}-\bruch{2}{2*(n+1)}+\bruch{1}{2*(n+2)}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{n}-\bruch{1+1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\red{\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}} \ + \ \blue{\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+1}}\right) [/mm] $
Erkennst Du nun die beiden Teleskopsummen?
Gruß
Loddar
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Danke für deinen Hinweis, jetzt hab ich's hinbekommen. Kannst du bitte mal einen kurzen Blick riskieren, ob ich alles mathematisch exakt genau aufgeschrieben hab?!
[mm] \bruch{1}{2}\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+1})=\bruch{1}{2}\limes_{n\rightarrow\infty}[\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1})+\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+1})]
[/mm]
Damit ich die Teleskopsummen besser sehe führe ich einen weiteren Summationsindex m ein:
[mm] \bruch{1}{2}[\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}+\limes_{m\rightarrow\infty}\summe_{m=3}^{\infty}(\bruch{1}{m}-\bruch{1}{m-1})]
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}[\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}+\limes_{m\rightarrow\infty}(\bruch{1}{m}-\bruch{1}{m-1})]
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}[1-\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n+1})+\limes_{m\rightarrow\infty}(\bruch{1}{m})-\bruch{1}{2}]
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}[1-\bruch{1}{2}]=\bruch{1}{4}
[/mm]
Danke
Phys1kauer
P.S: Kannst du nochmal einen Blick in meinen anderen Thread werfen (https://matheraum.de/read?t=205618). Da komme ich nicht weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 08.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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