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| Aufgabe | Beweise folgende Formel für p=1
[mm] \summe_{n=p+1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}-p^{2}}=\bruch{1}{2p}(1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{2p}) [/mm] |
Hallo, erstmal umgemünzt auf p=1 bedeutet dies ja
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}-1}=\bruch{1}{2}(1+\bruch{1}{2}).
[/mm]
So, nun muss ich ja irgendwie [mm] \summe_{n=2}^{k}\bruch{1}{n^{2}-1} [/mm] umschreiben, dass ich einen Limes finden kann, wie mache ich das, gibt es da irgendwelche Tricks? Im Script sagt mein Prof in dem Bsp. dazu "dies weist man leicht per Induktion nach)
Ich habe bislang soetwas wie [mm] \summe_{n=2}^{k}\bruch{1}{n^{2}-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\summe_{n=2}^{k}(\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n+1}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (\bruch{k}{\summe_{i=1}^{k}i} [/mm] - [mm] \bruch{k}{\summe_{i=1}^{k}(i+2)}) [/mm] Aber nun weiss ich nicht weiter. Auf einen Hauptnenner bringen? Bin ich überhaupt auf dem richtigen weg?
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Hallo carlosfritz!
Beide Wege sind m.E. möglich. Sowohl die Induktion als auch Dein weg übe die Partialbruchzerlegung.
Nach der Partialbruchzerlegung solltest Du Dir die Summe genauer ansehen. Es handelt es sich um eine sogenannte "Teleskopsumme", bei der sich fast alle Summanden eliminieren.
Gruß vom
Roadrunner
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Okay, danke!!!
hab nun ewig überlegt und bei mir kam immer 1.5 heraus, hab schon nen ewiglangen Text geschrieben und dann ist mir gerade die 0.5 wieder in den Sinn gekommen :)
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