unendliche Teilfolge < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Angenommen [mm] $I=[0,1]\subseteq\mathbb{R}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass jede Folge [mm] $(x_n|n\in\mathbb{N})$ [/mm] in $I$ eine unendliche Teilfolge hat, welche monoton fallend, monoton steigend oder konstant ist. |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe und wollte fragen ob mein Beweis bisher korrekt ist. Mir fehlt aber noch ein wenig.
Sei [mm] $x:\mathbb{N}\to [/mm] [0,1]$ mit [mm] $n\mapsto x_n$ [/mm] eine Folge.
Offensichtlich ist [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] beschränkt.
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt [mm] $(x_n)$ [/mm] also eine konvergente Teilfolge [mm] $(x_k)$.
[/mm]
Sei also [mm] $\lim_{k\to\infty} x_k=x$, [/mm] also für alle [mm] $\epsilon>0\exists\,\, N\in\mathbb{N}$ [/mm] so, dass für alle [mm] $m\geq N\quad |x_k-x|<\epsilon$.
[/mm]
Dann ist [mm] $x_k-x<\epsilon
Sei nun [mm] $K_1:=\{k\in\mathbb{N}|x_k-x<\epsilon\}$ [/mm] und [mm] $K_2:=\{k\in\mathbb{N}|x_k+x>\epsilon\}$.
[/mm]
Für [mm] N\leq k_1\in K_1 [/mm] ist [mm] $(x_k)$ [/mm] monoton steigend und für [mm] $N\leq k_2\in K_2$ [/mm] ist [mm] $(x_k)$ [/mm] monoton fallend.
Insbesondere ist [mm] $|K_1|$ [/mm] oder [mm] $|K_2|$ [/mm] unendlich (wobei das "oder" inklusiv gemeint ist, es können ja auch beide Mengen unendlich viele Elemente enthalten).
Was mir jetzt noch fehlende würde ist eben der Fall, dass diese beiden Mengen eben nicht unendlich sind. Dann muss ab einem bestimmten [mm] $m_1\geq [/mm] N$ die Folge [mm] $(x_k)$ [/mm] aber bereits konstant sein.
Wäre das so richtig? Es kommt mir eigentlich zu einfach vor.
Unsicher bin ich mir an der Stelle, wo ich sage, dass die Folgen monoton steigen bzw. monoton fallen. Ich meine das müsste nicht allgemein so gelten.
Allerdings könnte ich dies o.B.d.A annehmen wenn ich [mm] (x_k) [/mm] mit einem negativen Vorzeichen versehe.
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Sa 16.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Angenommen [mm]I=[0,1]\subseteq\mathbb{R}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass jede Folge [mm](x_n|n\in\mathbb{N})[/mm] in [mm]I[/mm] eine
> unendliche Teilfolge hat, welche monoton fallend, monoton
> steigend oder konstant ist.
>
> Hallo,
>
> ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe und wollte
> fragen ob mein Beweis bisher korrekt ist. Mir fehlt aber
> noch ein wenig.
>
> Sei [mm]x:\mathbb{N}\to [0,1][/mm] mit [mm]n\mapsto x_n[/mm] eine Folge.
> Offensichtlich ist [mm](x_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] beschränkt.
> Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt [mm](x_n)[/mm] also
> eine konvergente Teilfolge [mm](x_k)[/mm].
>
> Sei also [mm]\lim_{k\to\infty} x_k=x[/mm], also für alle
es ist schlecht, das Symbol [mm] $x\,$ [/mm] sowohl für die "Folge" als auch deren Grenzwert
zu verwenden. Das macht man zwar, schreibt es aber meist dann nur für
den Grenzwert hin (sofern existent).
Wenn Du auch [mm] $x\,$ [/mm] als Folge - also [mm] $x=(x_n)_n$ [/mm] - schreiben willst, dann würde ich
deren Grenzwert auch [mm] $x_\infty$ [/mm] nennen. Bzw. hier ist das ja der Grenzwert
einer konvergenten Teilfolge...
> [mm]\epsilon>0\exists\,\, N\in\mathbb{N}[/mm] so, dass für alle
> [mm]m\geq N\quad |x_k-x|<\epsilon[/mm].
>
> Dann ist [mm]x_k-x<\epsilon
>
> Sei nun [mm]K_1:=\{k\in\mathbb{N}|x_k-x<\epsilon\}[/mm] und
> [mm]K_2:=\{k\in\mathbb{N}|x_k+x>\epsilon\}[/mm].
>
> Für [mm]N\leq k_1\in K_1[/mm] ist [mm](x_k)[/mm] monoton steigend und für
> [mm]N\leq k_2\in K_2[/mm] ist [mm](x_k)[/mm] monoton fallend.
??? Das verstehe ich so gar nicht. Erkläre das mal.
Ich würde das so machen: Nach Bolzano Weierstraß (den man eigentlich
nicht brauch' für die Aufgabe, aber nun gut, wenn er schon da ist, dann
benutze ich ihn halt ebenso, wie Du es getan hast):
Es gibt eine Folge [mm] $(y_k)_k=(x_{n_k})_k$ [/mm] in [0,1] mit [mm] $y_k \to \red{\,y_\infty \in [0,1]\,}$ [/mm] - letzteres sowieso wegen
der Abgeschlossenheit von [0,1].
Falls [mm] $(y_k)$ [/mm] oder ein Endstück von [mm] $(y_k)_k$ [/mm] eine konstante Folge ist (letzteres meint,
dass [mm] $y_k=y_{k+1}$ [/mm] für alle genügend großen [mm] $k\,$), [/mm] so ist nichts mehr zu zeigen.
Nun sei also kein Endstück von [mm] $(y_k)_k$ [/mm] konstant. Dann gibt es Fallunterscheidungen,
die helfen können:
1. Fall: Sei [mm] $y_\infty=1\,.$ [/mm] Dann zeige:
Du kannst eine (streng) wachsende Teilfolge von [mm] $(y_k)_k$ [/mm] konstruieren, die gegen
$1$ strebt.
Sei [mm] $\epsilon(n)=1/n\,.$
[/mm]
Sei $k(1)$ ein erster Index aus [mm] $K_1$ [/mm] mit [mm] $1-\epsilon(1) [/mm] < [mm] y_{k(1)} [/mm] < 1$.
Nun gibt es einen Index $k(2) > k(1)$ in [mm] $K_1$ [/mm] mit
[mm] $\max\{1-\epsilon(2),\;y_{k(1)}\} [/mm] < [mm] y_{k(2)} [/mm] < 1$.
Nun gibt es einen Index $k(3) > k(2)$ in [mm] $K_1$ [/mm] mit
[mm] $\max\{1-\epsilon(3),\;y_{k(2)}\} [/mm] < [mm] y_{k(2)} [/mm] < 1$.
Usw.
Beachte dabei: Rechts darf $< [mm] 1\,$ [/mm] geschrieben werden, weil ja kein Endstück von
[mm] $(y_k)_k$ [/mm] konstant 1 sein kann!
2. Fall: [mm] $y_\infty=0$ [/mm] geht analog.
3. Fall: $0 < [mm] y_\infty [/mm] < [mm] 1\,.$
[/mm]
Hier kannst Du nun meinetwegen
[mm] $K_1:=\{k \in \IN \mid y_k < y_\infty\}$ [/mm] und [mm] $K_2:=\{k \in \IN \mid y_k > y_\infty\}$
[/mm]
setzen.
(Meinetwegen auch [mm] $K_<:=K_1$ [/mm] und [mm] $K_>:=K_2$.)
[/mm]
Weil [mm] $y_k \to y_\infty$ [/mm] und kein Endstück konstant ist, kann
[mm] $K_1 \cup K_2$
[/mm]
nicht endlich sein.
Jetzt machst Du halt weitere Fallunterscheidungen:
1. Fall: Sei [mm] $K_1$ [/mm] nicht endlich. Begründe nun analog zu oben, wo ich gezeigt
habe, dass im Falle [mm] $y_\infty=1$ [/mm] eine streng gegen 1 wachsende Folge existiert,
hier, dass ggf. eine streng gegen [mm] $y_\infty$ [/mm] wachsende Folge existiert.
Der Clou an der Sache ist eigentlich: Entweder diese Konstruktion funktioniert
analog, oder aber, sie funktioniert nicht - in letzterem Falle ist aber [mm] $K_2$ [/mm] eine
unendliche Menge und es muss wegen [mm] $y_k \to y_\infty$ [/mm] dann so sein, dass sich
eine streng gegen [mm] $y_\infty$ [/mm] fallende Folge konstruieren läßt!
2. Fall: Sei [mm] $|K_2|=\infty$...
[/mm]
Und damit die Logik dahinter vielleicht mal klarer wird:
Sei [mm] $|K_1|=\infty$. [/mm] Wir setzen nun voraus: Es ist
[mm] $y_\infty$
[/mm]
ein HÄUFUNGSPUNKT von [mm] $\{y_{k} \mid k \in K_1\}$.
[/mm]
Dann:Wähle [mm] $k_1 \in K_1$ [/mm] mit
[mm] $y_\infty-\widetilde{\epsilon_1} [/mm] < [mm] y_{k(1)}\,,$
[/mm]
wobei [mm] $\widetilde{\epsilon_1}:=1\,.$ [/mm] Das geht wegen [mm] $y_k \to y_\infty\,,$ [/mm] und weil [mm] $K_1$ [/mm] nicht leer
ist. Es gilt dann
[mm] $y_\infty-\widetilde{\epsilon_1} [/mm] < [mm] y_{k(1)} [/mm] < [mm] y_\infty\,.$
[/mm]
Betrachte nun
[mm] $\widetilde{\epsilon_2}:=\min\{\underbrace{y_\infty-y_{k(1)}}_{ > 0}, 1/2\}$.
[/mm]
Die Menge [mm] $K_1 \setminus \{1,...,k(1)\}$ [/mm] ist nicht leer, und wir können aus ihr wegen [mm] $y_k \to y_\infty$
[/mm]
(und weil [mm] $y_\infty$ [/mm] HP wie oben ist) ein $k(2)$ auswählen mit
[mm] $y_\infty-\widetilde{\epsilon_2} [/mm] < [mm] y_{k(2)},$
[/mm]
insbesondere gilt [mm] $y_{k(2)} [/mm] < [mm] y_\infty\,,$ [/mm] wobei dies aus $k(2) [mm] \in K_1$ [/mm] folgt, und
$k(2) > k(1)$ ist nach Wahl von $k(2)$ klar.
Nun
[mm] $\widetilde{\epsilon_3}:=\min\{y_\infty-y_{k(2)}, 1/3\}\,,$
[/mm]
dann finden wir einen Index $k(3) [mm] \in K_1 \setminus \{1,...,k(2)\}$ [/mm] mit
[mm] $y_\infty -\widetilde{\epsilon_3} [/mm] < [mm] y_{k(3)} [/mm] < [mm] y_\infty\,.$
[/mm]
So fortfahrend: Für alle [mm] $\ell \in \IN$
[/mm]
[mm] $y_{k(\ell)} [/mm] < [mm] y_{k(\ell+1)} [/mm] < [mm] y_\infty$,
[/mm]
wobei alle [mm] $y_{k(\ell)} \in K_1$.
[/mm]
Weiter
(*) [mm] $y_\infty-1/\ell [/mm] < [mm] y_{k(\ell)} [/mm] < [mm] y_\infty\,.$
[/mm]
Beachtenswert: Alle [mm] $y_{k(\ell)} \in [0,y_\infty] \subseteq [0,1]=I\,.$
[/mm]
Insgesamt: Mit (*) sieht man sogar, dass eine streng gegen [mm] $y_\infty$ [/mm] wachsende
Folge in [0,1]=I existiert.
Jetzt muss man aber bedenken: OBEN hatten wir angenommen, dass
[mm] $y_\infty$ [/mm] ein HP von [mm] $\{y_k \mid k \in K_1\}$ [/mm] ist. Die ganze Konstruktion versagt,
falls [mm] $y_\infty$ [/mm] KEIN HP von [mm] $\{y_k \mid k \in K_1\}$ [/mm] ist; ABER:
Dann muss man sich kurz klarmachen, dass dann aber
[mm] $y_\infty$ [/mm] EIN HP von [mm] $\{y_k \mid k \in K_2\}$
[/mm]
sein muss!
P.S. Man kann sich bestimmt auch Fallunterscheidungen sparen und
manches *kompakter* zusammenschreiben... Vielleicht ist auch noch nicht
alles ganz sauber argumentiert, aber ich hoffe, Du merkst das selber, wenn
Du das Prinzip einigermaßen verstanden hast, und dann selbst Deinen
Beweis ordentlich aufschreiben und präsentieren willst.
Es kann durchaus auch sein, dass ich noch etwas übersehen habe oder
sogar irgendwo ein kleiner Trugschluss da ist...
Also ggf. bitte nochmal *nachhaken*!!
Gruß,
Marcel
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Hi,
vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Das werde ich mir erst einmal genau überlegen müssen.
> ??? Das verstehe ich so gar nicht. Erkläre das mal.
Ich hatte bereits befürchtet, dass das wohl falsch sein wird.
Die "Idee" war eben, dass wenn ich eine konvergente Folge habe, die etwa alterniert, jeweils der Abstand zum Grenzwert sein Vorzeichen ändert.
Dabei muss das hier ja nicht "abwechselnd" passieren. Es kann ja auch ganz willkürlich sein.
Da die Folge konvergiert muss aber ab einem bestimmten [mm] $k_{\rm min}:=\min{k\in K_1\cup K_2|\forall k\geq N x_k+x>\epsilon\wedge x_k-x<\epsilon}$
[/mm]
[mm] $k_{\rm min}$ [/mm] soll also die minimale Zahl sein für die diese beiden Teilfolge, innerhalb der konvergenten Teilfolge, monoton werden.
Richtiger macht es das ganze wahrscheinlich nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Sa 16.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> vielen Dank für die ausführliche Antwort.
> Das werde ich mir erst einmal genau überlegen müssen.
>
> > ??? Das verstehe ich so gar nicht. Erkläre das mal.
>
> Ich hatte bereits befürchtet, dass das wohl falsch sein
> wird.
> Die "Idee" war eben, dass wenn ich eine konvergente Folge
> habe, die etwa alterniert, jeweils der Abstand zum
> Grenzwert sein Vorzeichen ändert.
> Dabei muss das hier ja nicht "abwechselnd" passieren. Es
> kann ja auch ganz willkürlich sein.
> Da die Folge konvergiert muss aber ab einem bestimmten
> [mm]k_{\rm min}:=\min{k\in K_1\cup K_2|\forall k\geq N x_k+x>\epsilon\wedge x_k-x<\epsilon}[/mm]
>
> [mm]k_{\rm min}[/mm] soll also die minimale Zahl sein für die diese
> beiden Teilfolge, innerhalb der konvergenten Teilfolge,
> monoton werden.
>
> Richtiger macht es das ganze wahrscheinlich nicht.
also ich ahne, was Du wahrscheinlich meinst, aber irgendwie ist das echt
schwer, herauszulesen, bei dem, was Du sagst.
Betrachten wir nochmal den Fall, dass [mm] $(y_k)$ [/mm] KEIN konstantes Endstück habe.
Weiterhin sei [mm] $y_\infty \in ]0,1[\,.$
[/mm]
Auch [mm] $K_1=K_<$ [/mm] und [mm] $K_2=K_>$ [/mm] seien wie eben definiert. [mm] ($K_1=K_\red{<}:=\{k \in \IN \mid y_k \red{\,<\,}y_\infty\}$.)
[/mm]
Aus [mm] $y_k \to y_\infty$ [/mm] folgt dann ja nicht, dass es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$
sowohl unendlich viele Indizes $j$ mit [mm] $y_\infty -\epsilon [/mm] < [mm] y_j [/mm] < [mm] y_\infty$
[/mm]
als auch unendlich viele Indizes [mm] $\ell$ [/mm] mit [mm] $y_\infty [/mm] < [mm] y_\ell [/mm] < [mm] y_\infty+\epsilon$
[/mm]
geben muss.
Aber: EINE der beiden letzten Zeilen wird wahr sein, und das reicht auch!
Es könnte bspw. sein: [mm] $y_\infty=0.6\,.$ [/mm] Weiter wäre möglich
[mm] $y_g=0.4$ [/mm] für alle $g [mm] \in \IN$ [/mm] gerade,
und
[mm] $y_u=0.6+\frac{\sin(u+10)}{u+10}$
[/mm]
für alle ungeraden u.
Hier wäre aber $0.6$ KEIN HP von [mm] $\{y_g \mid g \in \IN \text{ ist gerade}\}$, [/mm] wohl aber
wäre $0.6$ ein HP von [mm] $\{y_u \mid u \in \IN \text{ ist ungerade}\}$.
[/mm]
P.S. Ich hoffe, ihr habt schon den Begriff *Häufungspunkt einer Menge*
kennengelernt.
Grob gesagt: $0.6$ ist kein HP von [mm] $\{y_g \mid g \in \IN \text{ ist gerade}\}$, [/mm] weil ich eine Umgebung
um 0.6 so legen kann, dass diese mit [mm] $\{y_g \mid g \in \IN \text{ ist gerade}\}$ [/mm] einen leeren
Schnitt hat.
(Auch [mm] $y_g=0.4+1/(g+100)$ [/mm] wäre möglich.)
Ich kann quasi "0.6 von [mm] $\{y_g \mid g \in \IN \text{ ist gerade}\}$ [/mm] *wegisolieren*".
P.P.S. Beachte übrigens auch, dass
[mm] $y_\infty \notin \{y_k \mid k \in K_1\} \cup \{y_\ell \mid \ell \in K_2\}$
[/mm]
gilt; nach Definition von [mm] $K_1$ [/mm] bzw. [mm] $K_2$.
[/mm]
[mm] ($K_1 \cup K_2=\IN$ [/mm] ist hier auch i.a. FALSCH!)
Gruß,
Marcel
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Der Begriff des Häufungspunktes ist natürlich bekannt, aber nicht innerhalb der Vorlesung aus der die Aufgabe stammt. Den Satz von Bolzano-Weierstraß hatten wir dort auch nicht, aber ich gehe davon aus, dass ich mein Wissen aus den Anfängervorlesungen verwenden darf.
> ($ [mm] K_1 \cup K_2=\IN [/mm] $ ist hier auch i.a. FALSCH!)
Das hatte ich eigentlich auch nie so gedacht bzw. behauptet.
> Aber: EINE der beiden letzten Zeilen wird wahr sein, und das reicht auch!
Ja, das hatte ich so in meinem ersten Beitrag auch so ähnlich geschrieben, also irgendeine (oder auch beide) der beiden Mengen, die ich eingeführt hatte, muss unendlich sein.
> also ich ahne, was Du wahrscheinlich meinst, aber irgendwie ist das echt
> schwer, herauszulesen, bei dem, was Du sagst.
Meinst du denn, dass diese Idee irgendwie zu retten wäre, bzw. kannst du das was du erahnst vielleicht einmal so formulieren wie du es verstehst, denn ich weiß nicht ob es mir gelingt es besser zu erklären was ich eigentlich meine.
Vielleicht noch einmal in einem Satz zusammengefasst.
Die Idee wäre, dass wenn ich eine konvergente Teilfolge habe ab einem bestimmten [mm] $k_{\rm min}$ [/mm] sich diese Teilfolge wiederum in eine monoton fallende oder monoton steigende Teilfolge aufteilen muss. Wie gesagt ist das "oder" inklusiv gemeint.
Denn wäre das nicht der Fall, so könnte die Teilfolge nicht konvergieren.
Das heißt auch, dass der betragsmäßige Abstand zum Grenzwert dieser beiden Teilfolgen immer kleiner wird.
Damit meine ich, dass wenn ich etwa nun die konvergente Teilfolge [mm] $(y_k)$ [/mm] habe und ich habe dieses [mm] $k_{\rm min}$ [/mm] gefunden ab der sich diese Teilfolge nun in eine monotone fallende oder monoton steigende Teilfolge splitten muss.
Der Einfachheit halber nehme ich mal an das ab dem [mm] $k_{\rm min}$ [/mm] diese Teilfolge einfach alterniert. Dann wäre
[mm] $|y_{k_{\rm min+1}}|>|y_{k_{\rm min+2}}|>|y_{k_{\rm min+3}}|>\dotso$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Sa 16.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Der Begriff des Häufungspunktes ist natürlich bekannt,
> aber nicht innerhalb der Vorlesung aus der die Aufgabe
> stammt. Den Satz von Bolzano-Weierstraß hatten wir dort
> auch nicht, aber ich gehe davon aus, dass ich mein Wissen
> aus den Anfängervorlesungen verwenden darf.
>
> > ([mm] K_1 \cup K_2=\IN[/mm] ist hier auch i.a. FALSCH!)
>
> Das hatte ich eigentlich auch nie so gedacht bzw.
> behauptet.
ich wollte das nur mal BETONEN!
> > Aber: EINE der beiden letzten Zeilen wird wahr sein, und
> das reicht auch!
>
> Ja, das hatte ich so in meinem ersten Beitrag auch so
> ähnlich geschrieben, also irgendeine (oder auch beide) der
> beiden Mengen, die ich eingeführt hatte, muss unendlich
> sein.
>
> > also ich ahne, was Du wahrscheinlich meinst, aber irgendwie
> ist das echt
> > schwer, herauszulesen, bei dem, was Du sagst.
>
> Meinst du denn, dass diese Idee irgendwie zu retten wäre,
> bzw. kannst du das was du erahnst vielleicht einmal so
> formulieren wie du es verstehst, denn ich weiß nicht ob es
> mir gelingt es besser zu erklären was ich eigentlich
> meine.
Ich habe gerade nicht mehr so viel Zeit, daher nur kurz:
> Vielleicht noch einmal in einem Satz zusammengefasst.
>
> Die Idee wäre, dass wenn ich eine konvergente Teilfolge
> habe ab einem bestimmten [mm]k_{\rm min}[/mm] sich diese Teilfolge
> wiederum in eine monoton fallende oder monoton steigende
> Teilfolge aufteilen muss. Wie gesagt ist das "oder"
> inklusiv gemeint.
> Denn wäre das nicht der Fall, so könnte die Teilfolge
> nicht konvergieren.
Ich sehe aber nicht, wieso sich das *automatisch* einstellen sollte. Hast
Du Dir mal angeguckt, wie ich die Teilfolge, die streng gegen 1 wächst,
*erzwinge*?
Wenn jetzt [mm] $y_\infty$ [/mm] im Inneren von $[0,1]$ liegt, dann kann es zwar sein, dass
diese Mengen [mm] $K_1$ [/mm] und [mm] $K_2$ [/mm] beide unendlich sind (ich gehe jetzt immer von
dem Fall aus, dass [mm] $(y_k)$ [/mm] kein konstantes Endstück hat), und wenn nur eine
der beiden unendlich ist und die andere aber endlich, dann kann ich analog
vorgehen, wie oben.
ABER: Wenn beide unendlich sind, dann muss ich mir die rauspicken, mit
deren Indizes ich *unendlich nahe an [mm] $y_\infty$* [/mm] rankommen kann.
Zusammenfassend:
Es kann sein, dass das mit beiden geht (das *unendlich nah rankommen*).
Hier könnte man also sowohl eine streng gegen [mm] $y_\infty$ [/mm] wachsende als auch eine
streng gegen [mm] $y_\infty$ [/mm] fallende Folge basteln!
Es kann aber sein, dass das nur mit [mm] $K_1$ [/mm] geht und nicht mit [mm] $K_2$ [/mm] (dann: Konstruktion
gelingt NUR streng mit *monoton wachsend gegen [mm] $y_\infty$*) [/mm] .
Es kann auch sein, dass das nur mit [mm] $K_2$, [/mm] nicht aber mit [mm] $K_1$ [/mm] geht (dann NUR streng
fallend gegen [mm] $y_\infty$).
[/mm]
Es kann aber nicht sein, dass das weder mit [mm] $K_1$ [/mm] noch mit [mm] $K_2$ [/mm] geht; denn das
widerspräche [mm] $y_\infty \neq y_k \to y_\infty$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 So 17.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Dass [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in I ist, braucht man nicht !
Jede reelle Folge [mm] (x_n) [/mm] enthält eine monotone Teilfolge.
Dazu nennen wir einen Index m [mm] \in \IN [/mm] niedrig (für [mm] (x_n)), [/mm] wenn [mm] x_n \ge x_m [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] m.
Fall 1: es gibt unendlich viele niedrige Indices. Konstruiere nun eine wachsende Teilfolge.
Fall 2: es gibt höchstens endlich viele niedrige Indices. Konstruiere nun eine fallende Teilfolge.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 So 17.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo FRED!
Der Beweis ist natürlich sehr elegant.
> Dass [mm](x_n)[/mm] eine Folge in I ist, braucht man nicht !
>
> Jede reelle Folge [mm](x_n)[/mm] enthält eine monotone Teilfolge.
>
> Dazu nennen wir einen Index m [mm]\in \IN[/mm] niedrig (für [mm](x_n)),[/mm]
> wenn [mm]x_n \ge x_m[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] m.
>
> Fall 1: es gibt unendlich viele niedrige Indices.
> Konstruiere nun eine streng wachsende Teilfolge.
Hier muss das Wort "streng" gestrichen werden.
Schließlich muss für die vorliegende Aufgabe aus einer monotonen Teilfolge noch eine streng monotone oder konstante Teilfolge ausgewählt werden. Aber das ist leichter als der obige Schritt, eine monotone Teilfolge zu finden.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 So 17.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED!
>
>
> Der Beweis ist natürlich sehr elegant.
>
>
> > Dass [mm](x_n)[/mm] eine Folge in I ist, braucht man nicht !
> >
> > Jede reelle Folge [mm](x_n)[/mm] enthält eine monotone Teilfolge.
> >
> > Dazu nennen wir einen Index m [mm]\in \IN[/mm] niedrig (für [mm](x_n)),[/mm]
> > wenn [mm]x_n \ge x_m[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] m.
> >
> > Fall 1: es gibt unendlich viele niedrige Indices.
> > Konstruiere nun eine streng wachsende Teilfolge.
> Hier muss das Wort "streng" gestrichen werden.
Hallo Tobias,
Du hast recht.
Gruß FRED
>
>
> Schließlich muss für die vorliegende Aufgabe aus einer
> monotonen Teilfolge noch eine streng monotone oder
> konstante Teilfolge ausgewählt werden. Aber das ist
> leichter als der obige Schritt, eine monotone Teilfolge zu
> finden.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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Hallo,
ich würde dennoch gerne erstmal nur den Beweis für eine beschränkte Folge angeben.
Sei [mm] $x:\mathbb{N}\to [/mm] [0,1]$ mit [mm] $n\mapsto x_n$.
[/mm]
Da [mm] $(x_n)$ [/mm] eine beschränkte Folge ist, existiert nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge [mm] $(y_m)$ [/mm] mit [mm] $\lim_{m\to\infty} y_m=y$.
[/mm]
Da [mm] (y_m) [/mm] konvergiert gibt es unendlich viele Folgeglieder in [mm] $(y_m)$ [/mm] die größer oder gleich y sind, oder es gibt unendlich viele Folgeglieder, die kleiner oder gleich y sind.
Angenommen es gibt unendlich viele Folgeglieder [mm] $z_m$, [/mm] mit [mm] $z_m\leq [/mm] y$.
Da [mm] $(z_m)$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(y_m)$ [/mm] ist, gilt [mm] $\lim_{m\to\infty} z_m=y$.
[/mm]
Konstruiere nun eine monoton wachsende Teilfolge [mm] $(\gamma_m)$.
[/mm]
Wähle [mm] $\gamma_1:=z_{\rm min}$, [/mm] wobei [mm] $z_{\rm min}$ [/mm] das erste Glied der Folge [mm] $(z_m)$ [/mm] sein soll.
Da [mm] $(z_m)$ [/mm] konvergiert existiert zu jedem [mm] $\gamma_n$ [/mm] ein [mm] $N\in\mathbb{N}$ [/mm] mit [mm] $|z_N-y|\leq |\gamma_n-y|$.
[/mm]
Definiere [mm] $\gamma_{n+1}:=z_N$.
[/mm]
Die Abschätzung soll dabei aussagen, dass ich auf Grund der Konvergenz von [mm] $(z_m)$ [/mm] ich den rechten Teil [mm] $|z_N-y|$ [/mm] beliebig klein (nahe Null) machen kann. Ich kann also zu jedem potentiellen Folgeglied in meiner monoton steigenden Folge, die ich konstruiere, ein [mm] $\gamma_n$ [/mm] finden, so dass es passt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 19.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 So 17.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Angenommen [mm]I=[0,1]\subseteq\mathbb{R}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass jede Folge [mm](x_n|n\in\mathbb{N})[/mm] in [mm]I[/mm] eine
> unendliche Teilfolge hat, welche monoton fallend, monoton
> steigend oder konstant ist.
>
> Hallo,
>
> ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe und wollte
> fragen ob mein Beweis bisher korrekt ist. Mir fehlt aber
> noch ein wenig.
>
> Sei [mm]x:\mathbb{N}\to [0,1][/mm] mit [mm]n\mapsto x_n[/mm] eine Folge.
> Offensichtlich ist [mm](x_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] beschränkt.
> Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt [mm](x_n)[/mm] also
> eine konvergente Teilfolge [mm](x_k)[/mm].
wie ich schon sagte (und Fred mit seiner Antwort auch gezeigt hat), braucht
man Bolzano-Weierstraß hier nicht. Es ist sogar so, dass man diesen Satz
beweisen kann und benutzen kann, um Bolzano-Weierstraß zu begründen:
![[]](/images/popup.gif) https://www.uni-due.de/~hn213me/sk/rogge/Ana08.pdf
Ich finde diese Strategie auch sehr naheliegend...
Gruß,
Marcel
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