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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Fr 11.11.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Seien [mm]\Omega[/mm] eine endliche Menge von Ergebnissen und P eine entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung. Zeigen Sie für [mm]A_1 ,..., A_n \in \mathcal{P}(\Omega), n \in \IN [/mm]
(a) [mm]P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i ) = \summe_{i=1}^{n}P(A_i )[/mm], falls [mm]A_1 ,...,A_n [/mm] paarweise disjunkt.
(b)[mm]P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i ) \le \summe_{i=1}^{n}P(A_i )[/mm] |
zu (a)
klar ist mir das ganze schon. das folgt ja direkt aus dem 3.Kolmogoroffaxiom.
aber das kann ich ja so nicht hinschreiben...
ich suche also nach der korrekten Schreibweise für den Beweis.
meine Idee:
betrachte i=2:
[mm]P(\bigcup_{i=1}^{2} A_i ) = P(A_1 \cup A_2 ) = P(A_1)+P(A_2 )[/mm]
wobei der letzte Schritt gilt, weil die Mengen disjunkt sind (Kolmogoroff).
setzte [mm]\bigcup_{i=1}^{2} A_i = B_2[/mm]
betrachte nun i=3:
[mm]P(\bigcup_{i=1}^{3} A_i ) = P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P( B_2 \cup A_3) = P(B_2)+P(A_3) = P(A_1)+P(A_2 )+P(A_3 )[/mm]
im vorletzten Schritt gilt die selbe Bedingung wie oben.
allgemein:
setzte [mm]\bigcup_{i=1}^{n} A_i = B_{n}[/mm]
dann ist [mm]B_1 \subset B_2 \subset ... \subset B_n [/mm]
und [mm] B_n = \summe_{i=1}^{n}A_i [/mm]
und [mm]B_{n-1} \cup A_n = B_n [/mm]
mach ich da dann formal einen Induktionsbeweis und zeige
[mm]P(B_{n-1} \cup A_n ) = \summe_{i=1}^{n}P(A_i )[/mm]
mit Induktionsanfang n=3?
weil für n=1 ist trivial und für n=2 hab ich Kolmogloroff.
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Das sollte auch ohne Induktion gehen. An das [mm] $P\;$ [/mm] werden ja Anforderungen gestellt, Normiertheit, Monotonie, Sigmaadditivität. Kommt halt auch ein bissel drauf an, wie man was definiert.
a) P ist ein Maß und [mm]\emptyset \cap \emptyset = \emptyset[/mm] also disjunkt (man braucht auch noch [mm]P(\emptyset)=0[/mm]). Jetzt habe ich hoffentlich nicht zu viel verraten.
b) Wenn die [mm] sub-$\sigma$-Additivität [/mm] schon bewiesen ist, dann geht das analog zu a).
Falls nicht bastelt man sich aus den [mm]A_i[/mm] disjunkte Mengen [mm]B_j[/mm] mit [mm]B_1\subseteq B_2\subseteq \ldots[/mm] und wendet darauf a) an dann hat man schon [mm] P(\bigcup_{i=j}^{n} B_j ) = \summe_{j=1}^{n}P(B_j ) [/mm] bzw. [mm] P(\bigcup_{i=j}^{\infty} B_j ) = \summe_{j=1}^{\infty}P(B_j ) [/mm] mit ein paar leeren Mengen aufgefüllt. Ja und dann gibt es noch ne Eigenschaft von einem (Wahrscheinlichkeits-)Maß, die einem weiterhilft.
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