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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mo 06.10.2008 | | Autor: | chris18 |
| Aufgabe 1 | Einem Kreis mit dem Radius r=20mm wird ein Quadrat einbeschrieben, diesem wieder ein Kreis, usw.
Berechnen sie die Summe aller Kreisumfänge |
| Aufgabe 2 | | Wie groß ist die Abweichung vom exakten Wert, wenn man bei der periodischen Dezimalzahl 2,414141..... nach der 8. Dezimalstelle abbricht |
hallo, ich verstehe die Aufgaben nicht. Es wäre nett wenn mir einer helfen könnte danke.
1) Hier habe ich überhaupt keine Ahnung
2) habe einen Ansatz
ich habe [mm] S\infty [/mm] ausgerechnet [mm] S\infty=\bruch{239}{99}
[/mm]
habe versucht S4 auszurechnen komme bei
S4= [mm] 41*\bruch{\bruch{1}{100^4-1}}{99} [/mm] wenn ich richtig gerechnet hab^^
ich weiß dass man [mm] S\infty-S4 [/mm] machen muss um die Abweichung zu bekommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Mo 06.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> 1) Einem Kreis mit dem Radius r=20mm wird ein Quadrat
> einbeschrieben, diesem wieder ein Kreis, usw.
> Berechnen sie die Summe aller Kreisumfänge
>
> 2) Wie groß ist die Abweichung vom exakten Wert, wenn man
> bei der periodischen Dezimalzahl 2,414141..... nach der 8.
> Dezimalstelle abbricht.
> hallo, ich verstehe die Aufgaben nicht. Es wäre nett wenn
> mir einer helfen könnte danke.
>
> 1) Hier habe ich überhaupt keine Ahnung
Am Besten machst du dir erstmal eine Skizze und überlegst dir, wie man, wenn man eine Kreis mit Radius [mm] $r_n$ [/mm] hat, auf den nächsten Radius [mm] $r_{n+1}$ [/mm] kommt, d.h. wenn man, wie beschrieben, ein Quadrat in den Kreis einbeschreibt und in diesen wieder einen Kreis.
Ich komme damit auf [mm] $r_{n+1}=\frac{r_n}{\sqrt{2}}$.
[/mm]
Das ist eine geometrische Folge, d.h. wir können schreiben [mm] $r_n=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}\cdot r_0$, [/mm] wobei [mm] $r_0=20mm$ [/mm] ist und du musst nur noch berechnen, was [mm] $\sum_{k=0}^\infty r_k$ [/mm] ist.
> 2) habe einen Ansatz
>
> ich habe [mm]S\infty[/mm] ausgerechnet [mm]S\infty=\bruch{239}{99}[/mm]
Richtig.
> habe versucht S4 auszurechnen komme bei
> S4= [mm]41*\bruch{\bruch{1}{100^4-1}}{99}[/mm] wenn ich richtig
> gerechnet hab^^
Was meinst du mit S4? Gefragt ist doch nach dem Wert, der bei Abbruch nach der 8. Dezimalstelle entsteht, das wäre
[mm] $\frac{241414141}{100000000}$
[/mm]
> ich weiß dass man [mm]S\infty-S4[/mm] machen muss um die Abweichung
> zu bekommen.
Ja, das ist doch einfache Bruchrechnung...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Di 07.10.2008 | | Autor: | chris18 |
hallo, danke für die Antwort.
aber ich habe die Aufgabe 1 immer noch nicht verstanden.
Mit S4 meine ich die vier Paare 41 41 41 41, weil es ja heißt nach der 8. Stelle abbrechen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Mit S4 meine ich die vier Paare 41 41 41 41, weil es ja
> heißt nach der 8. Stelle abbrechen.
Ok... dann meinen wir ja dasselbe.
> aber ich habe die Aufgabe 1 immer noch nicht verstanden.
Ja dann... stell doch mal ein paar konkrete Fragen.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Di 07.10.2008 | | Autor: | chris18 |
ich verstehe nicht wie man auf $ [mm] r_{n+1}=\frac{r_n}{\sqrt{2}} [/mm] $ kommt
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Hallo Chris,
> ich verstehe nicht wie man auf [mm]r_{n+1}=\frac{r_n}{\sqrt{2}}[/mm]
> kommt
Berechnen kannst du es mit Pythagoras, zeichne dir mal nen Kreis mit Radius $r$. Dem wird ein Quadrat einbeschrieben. Der Mittelpunkt ist derselbe wie der des Kreises, die Länge vom Mittelpunkt zu einer Ecke des Quadrates ist $r$.
Bezeiche die Seitenlänge des Quadrates mit a, dann ist [mm] $r^2+r^2=a^2$, [/mm] also [mm] $a=\sqrt{2}r$, [/mm] a ist aber genau das Doppelte des Radius' des "neuen" Kreises, also des dem Quadrat einbeschriebenen Kreises, nenne ihn [mm] $r_{neu}$
[/mm]
Also [mm] $r_{neu}=\frac{\sqrt{2}\cdot{}r_{alt}}{2}=\frac{r_{alt}}{\sqrt{2}}$
[/mm]
Also rekursiv: [mm] $r_{n+1}=\frac{r_n}{\sqrt{2}}$
[/mm]
Zeichne mal zwei (Konstruktions-)Schritte auf (Kreis, einbeschriebenes Quadrat und wiederum einbeschriebener Kreis) ..
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Di 07.10.2008 | | Autor: | chris18 |
ok soweit habe ich alles verstanden.
aber wie kann ich jetzt die Summe aller Kreisumfänge berechnen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> aber wie kann ich jetzt die Summe aller Kreisumfänge berechnen
[mm] $\sum_{k=0}^\infty r_k=\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^k\cdot r_0=r_0\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm] mit [mm] $q=\frac{1}{\sqrt{2}}<1$. [/mm] Jetzt benutze einfach die Fomel für die  geometrische Reihe.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Di 07.10.2008 | | Autor: | chris18 |
hallo, ich habe nooch eine Frage
wie kann ich erkennen das [mm] q=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> wie kann ich erkennen das [mm]q=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] ist.
Da gibts nichts zu erkennen. Ich habe $q$ einfach genau so definiert: $q$ ist hier einfach nur ein neues Symbol für den Ausdruck [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Di 07.10.2008 | | Autor: | chris18 |
ok danke habe soweit alles verstanden.
habe noch eine Frage zur zweiten Aufgabe ich kann einfach nicht S4 ausrechnen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Di 07.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chris!
Du braucht hier doch lediglich [mm] $s_{\infty}-s_4 [/mm] \ = \ [mm] 2\bruch{41}{99}-2.41414141 [/mm] \ = \ [mm] 2\bruch{41}{99}-2\bruch{41414141}{100000000} [/mm] \ = \ ...$ berechnen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mi 08.10.2008 | | Autor: | chris18 |
hallo, wenn ich das so rechne bekomme ich 0 raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Mi 08.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Da kommt nicht Null raus. Du musst [mm] $\frac{41}{99}-\frac{41414141}{100000000}$ [/mm] rechnen. Bringe die Brüche auf einen Nenner und subtrahiere dann die Zähler und du erhälst [mm] $\frac{41}{9900000000}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mi 08.10.2008 | | Autor: | chris18 |
irgendwie verstehe ich das nicht.
das mit [mm] S\infty [/mm] ist klar
aber wenn man S4 ausrechnen will braucht man doch die Formel [mm] S4=a1\bruch{q^n-1}{q-1}
[/mm]
also [mm] \bruch{41}{100}*\bruch{\bruch{1}{100^4-1}}{\bruch{-99}{100}} [/mm] oder habe ich da was falsch verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chris!
Warum diese Mühe und so kompliziert, wenn Du [mm] $s_4$ [/mm] mit [mm] $s_4 [/mm] \ = \ 2.41414141$ bereits genau kennst?
Zudem machst Du einen Fehler ...
> [mm]\bruch{41}{100}*\bruch{\bruch{1}{100^4-1}}{\bruch{-99}{100}}[/mm]
Wenn, dann muss es [mm] $2+\bruch{41}{100}*\bruch{\bruch{1}{100^4}-1}{\bruch{-99}{100}}$ [/mm] lauten.
Gruß
Loddar
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