ungleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mi 15.04.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | beweise, dass für beliebige [mm] x_i, [/mm] i=1,...,n und beliebige [mm] a_i\ge [/mm] 0, i=1,...,n mit [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i=1 [/mm] die ungleichung
[mm] h(\summe_{i=1}^{n}a_ix_i)\le \summe_{i=1}^{n}a_ih(x_i)
[/mm]
dabei ist h eine konvexe funktion. |
hallo, ich weiß ehrlich gesagt nicht so ganz, wo ich anfangen soll, vielleicht versteh ich auch ganz grundlegend etwas nicht.
ich habe zunächst nachgeschaut, was konvexe fkt sind und die gleichung [mm] h((1-a)x_1+ax_2)\le (1-a)h(x_1)+ah(x_2) [/mm] gefunden. das ist ja auch immer ganz gut veranschaulicht mit der sekante, die über dem funktionsgrafen liegt zwischen den beiden punkten [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2. [/mm] (was ich nicht verstehe, wie komme ich auf diese formel, wo kommt das a her????)
nun in meiner aufgabe gibt es nicht nur 2 punkte, sondern n. deshalb kann ich die formel oben ja verallgemeinern--ich summiere nicht nur zwei summanden auf, sondern n--da steht bei mir dann aber ja direkt schon der ausdruck, den ich beweisen soll!!??
der andere gedanke, der mir noch kam, ist, dass da ja irgendwie das arithmetische mittel drinsteckt. aber bringt mich das weiter?
dann danke schonmal für jede hilfe!
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Do 16.04.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin gigi,
hast du es schon einmal mit vollstaendiger Induktion versucht?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Do 16.04.2009 | | Autor: | gigi |
jo, habe jetzt eben mal die vollständige ind. aufgeschrieben und habe es auch soweit hingekriegt denk ich--für die abschätzungen habe ich neben der IV dann aber wieder die formel genutzt, von der ich oben schon geschrieben habe--ich muss ja die voraussetzung, dass h konvex ist, nutzen, richtig!?
und kann jemand bitte nochmal etwas ordnung in meine verworrenen gedanken von oben bringen!? vor allem, wie ich logisch auf die formel für konvexe fkten komme....
gruß und dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Do 16.04.2009 | | Autor: | luis52 |
> jo, habe jetzt eben mal die vollständige ind.
> aufgeschrieben und habe es auch soweit hingekriegt denk
> ich--für die abschätzungen habe ich neben der IV dann aber
> wieder die formel genutzt, von der ich oben schon
> geschrieben habe--ich muss ja die voraussetzung, dass h
> konvex ist, nutzen, richtig!?
Ja.
>
> und kann jemand bitte nochmal etwas ordnung in meine
> verworrenen gedanken von oben bringen!? vor allem, wie ich
> logisch auf die formel für konvexe fkten komme....
Hier weiss ich nicht, was du meinst. Wenn du die Formel mit IV
bewiesen hast, dann ist doch alles gut. Oder was wurmt dich noch?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Fr 17.04.2009 | | Autor: | gigi |
ich meinte diese gleichung für h:
[mm] h((1-a)x_1+ax_2)\le (1-a)h(x_1)+ah(x_2)
[/mm]
wie bildet man sie durch loglisches überlegen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Fr 17.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alle Punkte zwischen x1 und x2 kannst du darstellen mit [mm] 0\le a\le [/mm] 1 und x1(1-a)+a*x2
fuer a=0 und 1 kriegst du die Anfangs und Endpkte.
ists dann klar?
Gruss leduart
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