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ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Mo 07.11.2005
Autor: worromot

meine aufgabe:

(1- [mm] \bruch{2}{5})^n [/mm] < [mm] \Delta [/mm]

für delta soll 2,1,0.5,1/125 einsetzen.

betsimmen sie alle natürlichen zahlen N, so dass die ungleichung und alle natülichen zahlen n mit der eigenschaft n>=N erfüllt ist.

meine frage: wie löse ich die ungleichung nach n auf ?
ich komm nicht drauf vielleicht könnt ihr mir auf sprünge helfen!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
ungleichungen: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 Mo 07.11.2005
Autor: MathePower

Hallo worromot,

[willkommenmr]

> meine aufgabe:
>  
> (1- [mm]\bruch{2}{5})^n[/mm] < [mm]\Delta[/mm]
>  
> für delta soll 2,1,0.5,1/125 einsetzen.
>  
> betsimmen sie alle natürlichen zahlen N, so dass die
> ungleichung und alle natülichen zahlen n mit der
> eigenschaft n>=N erfüllt ist.
>  
> meine frage: wie löse ich die ungleichung nach n auf ?
>  ich komm nicht drauf vielleicht könnt ihr mir auf sprünge
> helfen!

Logarithmiere beide Seiten. Beachte daß der Logarithmus von [mm]1\;-\;\frac{2}{5}[/mm] kleiner 0 ist. Demzufolge dreht sich das Vorzeichen um, wenn Du durch diese Zahl dividierst.

Gruß
MathePower


Bezug
                
Bezug
ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Mo 07.11.2005
Autor: worromot

kannst du mir bitte ziegen wie du das meinst mit dem logarithmus.
zeig mal ein beispeil bitte ?

Bezug
                        
Bezug
ungleichungen: Zwischenschritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Mo 07.11.2005
Autor: Roadrunner

Hallo worromot!


[mm] $\left(1-\bruch{2}{5}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{3}{5}\right)^n [/mm] \ < \ [mm] \Delta$ [/mm]


Nun auf beiden Seiten logarithmieren und MBLogarithmusgesetz [mm] $\log_b\left(a^m\right) [/mm] \ = \ [mm] m*\log_b(a)$ [/mm] anwenden:

[mm] $\ln\left(\bruch{3}{5}\right)^n [/mm] \ < \ [mm] \ln(\Delta)$ [/mm]

[mm] $n*\ln\left(\bruch{3}{5}\right) [/mm] \ < \ [mm] \ln(\Delta)$ $\left| \ : \ \ln\left(\bruch{3}{5}\right) \ \red{< \ 0}$ $n \ \red{>} \ \bruch{\ln(\Delta)}{\ln\left(\bruch{3}{5}\right)} \ = \ \bruch{\ln(\Delta)}{\ln(3)-\ln(5)}$ Gruß vom Roadrunner [/mm]

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