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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Sa 09.10.2010 | | Autor: | jacob17 |
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Hallo,
Bearbeite gerade einen Übungszettel und häng' bei folgender Aufgabe
Sei [mm] V=\IR^{3} [/mm] zusammen mit Skalarprodukt [mm] \beta: [/mm] VxV [mm] \to [/mm] IR und sei [mm] \alpha:V \otimes [/mm] V [mm] \to [/mm] IR die induzierte Abbildung. Nun soll eine Basis von [mm] Ker(\alpha) [/mm] angegeben werden. Bedingt durch die Kommutativität ist doch [mm] \beta(v,w)=\alpha(\delta(v,w)) [/mm] wobei [mm] \delta:VxV \to [/mm] V [mm] \otimes [/mm] V. Damit ein Element auch Element des Kerns ist muss doch gelten, dass [mm] \alpha(\delta(v,w)) [/mm] = 0 was aber doch nur geht falls [mm] \delta(v,w) [/mm] = v [mm] \otimes [/mm] w=0 Das ist doch erfüllt wenn v=0 oder w=0? Stimmt das soweit?
Viele Grüße
jacob
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Hallo jacob,
betrachte den Spezialfall des gewöhnlichen Skalarprodukts und die Basisvektoren $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ des [mm] $\mathbb{R}^3$.
[/mm]
Dann ist beispielsweise $0 = [mm] \beta((0,0,1),(1,0,0)) [/mm] = [mm] \alpha((0,0,1)\otimes [/mm] (1,0,0)) = [mm] \alpha(\delta((0,0,1),(1,0,0)))$ [/mm] und [mm] $(0,0,1)\otimes [/mm] (1,0,0) [mm] \in \ker \alpha$. [/mm]
Welche Dimension hat [mm] $\mathbb{R}^3\otimes \mathbb{R}^3$? [/mm] Welche Dimension hat [mm] $\ker \alpha$? [/mm] Liegt [mm] $(1,0,0)\otimes(1,0,0)$ [/mm] im [mm] $\ker \alpha$?
[/mm]
Hilft das weiter?
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mo 11.10.2010 | | Autor: | jacob17 |
Ok die dimension des Tensorproduktraumes beträgt dann 9. Damit [mm] \alpha(1,0,0)\otimes(1,0,0) [/mm] = 0 muss auch [mm] \beta((1,0,0),(1,0,0))=0 [/mm] gelten. Das ist aber 1 oder? Beträgt dann die Dimension des Kernes in deinem Beispiel 6?
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Hallo jacob,
wie kommst Du auf $6$? Es gilt doch der Rangsatz:
$9 = [mm] \dim \mathbb{R}^3\otimes\mathbb{R}^3 [/mm] = [mm] \dim \text{Bild}(\alpha) [/mm] + [mm] \dim\text{Kern}(\alpha)$.
[/mm]
und [mm] $\text{Bild}(\alpha) \subseteq \mathbb{R}$.
[/mm]
LG mathfunnel
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