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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mi 13.06.2007 | | Autor: | caro5 |
| Aufgabe | Seieb K ein Körper und A eine endlich dimensionale K-Algebra (aossoziativ, mit 1) n:= dim A.
Zeige: es existiert B [mm] \subset M_{n}(K) [/mm] eine unteralgebra und A [mm] \to [/mm] B ein Algebraisomorphismus. |
hallo ihr lieben
brauch euch mal wieder...
ich weiss, dass die menge der n [mm] \times [/mm] n matrizen ´mit der matrizenmultiplikation eine assoziative algebra bilden.
aber wann ist es jetzt unteralgebra??? heisst das dann dass sie weniger elemente enthält oder was kann ich mir darunter vorstellen???
denn wenn sie weniger elemente enthält, dann weiss ich ja zumindest schonmal, dass die abbildung in jedem fall schon mal surjektiv ist!!!
wäre super wenn mir einer mit meinem problem weiter helfen könnte...
liebe grüße die verzweifelte caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Mi 13.06.2007 | | Autor: | statler |
Hi Carolin!
> Seien K ein Körper und A eine endlich dimensionale
> K-Algebra (assoziativ, mit 1), n:= dim A.
> Zeige: es existiert B [mm]\subset M_{n}(K)[/mm] eine Unteralgebra
> und A [mm]\to[/mm] B ein Algebraisomorphismus.
Nimm dir eine feste Basis von A über K (der Länge n). Für a [mm] \in [/mm] A ist dann die Linksmultiplikation in A eine K-lineare Abbildung von A nach A, wird also durch eine nxn-Matrix beschrieben. Dann definierst du [mm] \phi: [/mm] A [mm] \to M_{n}(K) [/mm] dadurch, daß [mm] \phi(a) [/mm] genau diese Matrix sein soll.
Jetzt mußt du nachweisen, daß [mm] \phi [/mm] es tut.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Do 14.06.2007 | | Autor: | caro5 |
ja super vielen dank für deine hilfe!!!
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