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| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösungsmengen
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 0 & 2 & 4 & 6 }x= \vektor{1 \\ -3 \\ 4} [/mm] |
[mm] \vmat{ 1 & 2 & 3 & 4 = 1 \\ 5 & 6 & 7 & 8 = -3 \\ 0 & 2 & 4 & 6 = 4}
[/mm]
1 Zeile * (-5)+ 2 zeile:
[mm] \vmat{ 1&2&3&4 = 1 \\ 0 &-4 &-8 &-12 =-8 \\ 0& 2 & 4 & 6 = 4}
[/mm]
2 zeile * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + 1 zeile
[mm] \vmat{ 1 & 0 & -1 & -2 = -3 \\ 0 & -4 & -8 & -12 = -8 \\ 0 & 2 & 4 & 6 = 4}
[/mm]
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III: [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 4x_3 [/mm] + [mm] 6x_4 [/mm] = 4
[mm] \Rightarrow x_4= \bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{x_2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2x_3}{3}
[/mm]
[mm] x_2=s, x_3=t \Rightarrow x_4= \bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{s}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2t}{3}
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] in I einsetzen:
[mm] x_1- x_3-2(\bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{x_2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2x_3}{3}) [/mm] =-3
[mm] x_1= -5-2x_2-x_3
[/mm]
[mm] x_1= [/mm] -5-2s-t
[mm] x_4 [/mm] in II einsetzen:
[mm] -4(\bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{x_2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2x_3}{3}) -8x_3-12x_4 [/mm] = -8
[mm] 4x_2-16x_3-36x_4=16
[/mm]
[mm] x_2-4x_3-9x_4=4
[/mm]
[mm] x_2= 4+4x_3+9x_4
[/mm]
[mm] x_2= 4+4x_3+9(\bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{x_2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2x_3}{3})
[/mm]
[mm] x_2= 4+4x_3+6 -3x_2-6x_3
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{5}{2}-2x_3= \bruch{5}{2}-2t
[/mm]
ist das soweit erstmal richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 So 08.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Berechnen Sie die Lösungsmengen
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> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 0 & 2 & 4 & 6 }x= \vektor{1 \\ -3 \\ 4}[/mm]
>
> [mm]\vmat{ 1 & 2 & 3 & 4 = 1 \\ 5 & 6 & 7 & 8 = -3 \\ 0 & 2 & 4 & 6 = 4}[/mm]
>
> 1 Zeile * (-5)+ 2 zeile:
>
>
> [mm]\vmat{ 1&2&3&4 = 1 \\ 0 &-4 &-8 &-12 =-8 \\ 0& 2 & 4 & 6 = 4}[/mm]
Bis hier passt alles
Außerdem würde ich jetzt erstmal II:4 und III:2 rechnen
[mm]\vmat{ 1&2&3&4 = 1 \\ 0 &-1 &-2 &-3 =-2 \\ 0& 1 & 2 & 3 = 2}[/mm]
Das erleichtert das weitere Rechnen ungemein.
Addiere nun II und III, dann hast du eine Nullzeile und musst daher dann einen Parameter setzen.
Marius
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aber meine lösung ist auch richtig oder?
ich habe folgende lösungsmenge:
[mm] x_1= [/mm] -5-2s-t
[mm] x_2= \bruch{5}{2}-2t
[/mm]
[mm] x_3= \bruch{5}{4}-\bruch{s}{2}
[/mm]
[mm] x_4= \bruch{2}{3} [/mm] - [mm] \bruch{s}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2t}{3}
[/mm]
[mm] \vektor{-5 \\ \bruch{5}{2} \\ \bruch{5}{4} \\ \bruch{2}{3}}+s\vektor{-2 \\ 0\\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{3}}+t\vektor{-1 \\ -2\\ 0 \\ \bruch{2}{3}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 So 08.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> aber meine lösung ist auch richtig oder?
Warum so kompliziert?
$ [mm] \vmat{ 1&2&3&4 = 1 \\ 0 &-1 &-2 &-3 =-2 \\ 0& 1 & 2 & 3 = 2} [/mm] $
II+III
$ [mm] \vmat{ 1&2&3&4 = 1 \\ 0 &-1 &-2 &-3 =-2 \\ 0& 0 & 0 & 0 = 0} [/mm] $
Die dritte Zeile ist nun eine Nullzeile, daher bekommst du parameterabhängige Lösungen.
Setze also [mm] x_{4}=t [/mm] und [mm] x_{3}=s
[/mm]
Dann bekommst du aus Gleichung II
[mm] x_{2}=2-2s-3t
[/mm]
und damit dann aus Gleichung I:
[mm] x_{1}=s+2t-3
[/mm]
>
> ich habe folgende lösungsmenge:
>
> [mm]x_1=[/mm] -5-2s-t
>
> [mm]x_2= \bruch{5}{2}-2t[/mm]
>
> [mm]x_3= \bruch{5}{4}-\bruch{s}{2}[/mm]
>
> [mm]x_4= \bruch{2}{3}[/mm] - [mm]\bruch{s}{3}[/mm] - [mm]\bruch{2t}{3}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-5 \\ \bruch{5}{2} \\ \bruch{5}{4} \\ \bruch{2}{3}}+s\vektor{-2 \\ 0\\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{3}}+t\vektor{-1 \\ -2\\ 0 \\ \bruch{2}{3}}[/mm]
>
Welcher Parameter ist bei dir was? Was ist t, was s?
Marius
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> Warum so kompliziert?
ich habe die aufgabe schon so gelöst und aufgeschrieben. wenn es richtig ist kann ich es ja stehen lassen
> Welcher Parameter ist bei dir was? Was ist t, was s?
[mm] s=x_2 [/mm] und [mm] t=x_3
[/mm]
steht auch im anfangsbereich ;)
EDIT:
> [mm]\vmat{ 1&2&3&4 = 1 \\ 0 &-1 &-2 &-3 =-2 \\ 0& 1 & 2 & 3 = 2}[/mm]
>
> II+III
> [mm]\vmat{ 1&2&3&4 = 1 \\ 0 &-1 &-2 &-3 =-2 \\ 0& 0 & 0 & 0 = 0}[/mm]
>
> Die dritte Zeile ist nun eine Nullzeile, daher bekommst du
> parameterabhängige Lösungen.
> Setze also [mm]x_{4}=t[/mm] und [mm]x_{3}=s[/mm]
> Dann bekommst du aus Gleichung II
>
> [mm]x_{2}=2-2s-3t[/mm]
> und damit dann aus Gleichung I:
> [mm]x_{1}=s+2t-3[/mm]
hier müsste man noch nach [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] umstellen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 So 08.12.2013 | | Autor: | tonno |
Wenn du schon s,t hast und damit [mm] x_2 [/mm] bzw. [mm] x_3, [/mm] dann rechne mit Zeile II [mm] x_4 [/mm] in Abhängigkeit von [mm] x_2,x_3 [/mm] aus. Und dann damit schließlich [mm] x_1 [/mm] via Zeile I. Damit dann die Lösungsmenge bilden und fertig.
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