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Hallo!
Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:
gegeben sind zwei Fixgeraden:
g: [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - 4 = 0
h: [mm] x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] + 2 = 0
der Punkt U = (0/0) wird auf den Punkt U' = (4/6) abgebildet.
Jetzt sollen wir damit die Abbildungsgleichung bestimmen.
Zuerst habe ich die beiden Geraden geschnitten und bin auf den Punkt F = (2/2) gekommen. Dies ist der Fixpunkt.
Dann habe ich die Eigenvektoren bestimmt:
[mm] \vec{v_{1}} [/mm] = k * [mm] \vektor{1 \\ -1}
[/mm]
[mm] \vec{v_{2}} [/mm] = l * [mm] \vektor{-2 \\ 1}
[/mm]
Mein Ansatz ist:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 6}
[/mm]
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2}
[/mm]
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda_{1} \\ -\lambda_{1}}
[/mm]
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \vektor{-2 \\ 1} \vektor{-2\lambda_{2} \\ \lambda_{2}}
[/mm]
Daraus folgt dann, dass x=4 und y=6 ist.
Nun habe ich aber, wenn ich das ausmultipliziere ein überbestimmtes Gleichungssystem.
2a + 2b + 4 = 2
a - b + 4 = [mm] \lambda_{1}
[/mm]
2a + b = [mm] -2\lambda_{2}
[/mm]
2c + 2d + 6 = 2
c - d + 6 = [mm] -\lambda_{1}
[/mm]
2c + d = [mm] \lambda_{2}
[/mm]
Und genau an der Stelle scheitert es bei mir.
Es wäre also super, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich so ein GS löse.
Besten Dank im Vorraus.
Steffi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Sa 12.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Im Prinzip bist du sehr gut und richtig vorgegangen.
Aber mit der Translation, die du ja richtig hast und den beiden Fixgeraden bzw. Eigenvektoren ist die Abbildung eindeutig festgelegt. der Fixpunkt wird durch den Schnittpunkt der Geraden ja, wie du selbst geschrieben hast festgelegt. Also sind die 2 Gleichungen, die du durch die Abbildung des Fixpunktes bekommst überflüssig. Das wäre nicht weiter schlimm, wenn du nicht 2 Fehler in deiner Rechnung hättest. wenn alles richtig wäre, und du die 6 Gleichungen richtig hast, sind dann einfach 2 davon linear abhängig von den restlichen 4. Nun zu deinen Fehlern:
> gegeben sind zwei Fixgeraden:
> g: [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] - 4 = 0
> h: [mm]x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2}[/mm] + 2 = 0
>
> der Punkt U = (0/0) wird auf den Punkt U' = (4/6)
> abgebildet.
>
> Jetzt sollen wir damit die Abbildungsgleichung bestimmen.
>
> Zuerst habe ich die beiden Geraden geschnitten und bin auf
> den Punkt F = (2/2) gekommen. Dies ist der Fixpunkt.
richtig
> Dann habe ich die Eigenvektoren bestimmt:
> [mm]\vec{v_{1}}[/mm] = k * [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
richtig
> [mm]\vec{v_{2}}[/mm] = l * [mm]\vektor{-2 \\ 1}[/mm]
falsch, richtig wäre : [mm]\vec{v_{2}}[/mm] = l * [mm]\vektor{+2 \\ 1}[/mm]
> Mein Ansatz ist:
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
> = [mm]\vektor{4 \\ 6}[/mm]
richtig
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{2 \\ 2}[/mm] + [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 2}[/mm]
richtig (überflüssig, kann zur Kontrolle bleiben!
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm] =
> [mm]\vektor{\lambda_{1} \\ -\lambda_{1}}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{-2 \\ 1} \vektor{-2\lambda_{2} \\ \lambda_{2}}[/mm]
hier Fehler von oben!
> Daraus folgt dann, dass x=4 und y=6 ist.
richtig
> Nun habe ich aber, wenn ich das ausmultipliziere ein
> überbestimmtes Gleichungssystem.
>
> 2a + 2b + 4 = 2
richtig
> a - b + 4 = [mm]\lambda_{1}[/mm]
die +4 ist falsch, deine Gl. oben richtig
> 2a + b = [mm]-2\lambda_{2}[/mm]
stimmt nicht mit deiner Matrixgl oben, sonst wär es [mm] -2a+b=-2\lambda
[/mm]
und der Fehler von oben, also richtig 2a+b=2*\ lambda
> 2c + 2d + 6 = 2
> c - d + 6 = [mm]-\lambda_{1}[/mm]
die +6 ist falsch, du hast scheints in der Matrixgl. hier noch die Translation addiert.
> 2c + d = [mm]\lambda_{2}[/mm]
Du siehst, du musst noch mal neu rechnen.
Gruss leduart
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Hallo!
Danke für die schnelle Hilfe.
Den Rechenfehler hab ich jetzt geändert. Nun habe ich aber immernoch das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich das unterbestimmte Gleichungssystem lösen muss.
Denn mit der Aussage:
> ... sind dann einfach 2 davon linear abhängig von den restlichen 4.
kann ich irgendwie nichts anfangen. Stehe ein bisschen auf'm Schlauch.
Gruß,
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 So 13.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Steffi
Ich hab einen Fehler gemacht. Du brauchst natürlich die Abbildung des Fixpunktes auf sich. Und damit sind die daraus entstehenden Gl. auch nicht lin abhängig. Es war gestern wohl schon zu spät.
Ich bezeichne deine abcd Matrix mit A:
Dann hast du :
A* [mm] \vec{v1}=\lambda_{1}* \vec{v1} [/mm] ergibt 2 Gleichungen
Durch Addition der 2 Gl. fällt [mm] \lambda [/mm] weg, es bleibt eine Gl. mit a, b, c, d.
A* [mm] \vec{v2} [/mm] = [mm] \lambda_{2}* \vec{v2} [/mm] ergibt 2 Gleichungen, wieder fällt [mm] \lambda [/mm] weg wenn du das doppelte der 2.Gl. von der ersten abziehst.
Du behältst wieder eine Gl. für a, b, c, d. Also hast du 2 Gl.
Jetzt kommt die Fixpkt. Abbildung:
A* [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 6} [/mm] = [mm] \vektor{2\\ 2}
[/mm]
ergibt 2 weitere Gl. für a, b, c, d.
Damit hast du insgesamt 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten der Matrix.
Und das ist weder unter- noch überbestimmt.
Da ich mich bei so was oft verrechne setze ich am Ende immer irgendeinen Pkt. der einen Geraden ein, und prüf nach, ob er nach der Abb. noch auf der Geraden liegt. Aber das ist natülich nur ne Probe.
Ich hoff, deine Frage ist damit beantwortet.
Gruss leduart
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