unterbestimmtes LGS < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Mi 26.01.2005 | | Autor: | lexandra |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiter komme.Vielleicht ist mein Ansatz ja auch falsch?!
Aufgabe: Die Zahl 23 ist so in drei positive, ganzzahlige Summanden zu zerlegen, dass das Dreifache des ersten, das Achtfache des zweiten und das Elffache des dritten Summanden die Summe 200 ergibt.
Mein Ansatz lautet hierzu:
I x1 + x2 + x3 = 23
II 3x1 + 8x2 + 11x3 = 200
Ich stelle mir diesbezüglich meine Matrix auf und versuche diese zu lösen (Gaußalgorithmus), habe aber ein Problem, da ich 3 Unbekannte und nur 2 Gleichungen habe.Somit ist das Gleichungssystem unterbestimmt. Wie löst man ein unterbestimmtes Gleichungssystem dieser Art?
Als Ergebnis gibt es laut Lösungszettel zwei Lösungen. 1,15,7 und 4,7,12. Mich würde der genaue Rechenweg interessieren.
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo lexandra!
(hast du da bei deinem Namen vielleicht das Anfangs-A vergessen? *gg*)
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aufgabe: Die Zahl 23 ist so in drei positive, ganzzahlige
> Summanden zu zerlegen, dass das Dreifache des ersten, das
> Achtfache des zweiten und das Elffache des dritten
> Summanden die Summe 200 ergibt.
>
> Mein Ansatz lautet hierzu:
>
> I x1 + x2 + x3 = 23
> II 3x1 + 8x2 + 11x3 = 200
Der Ansatz ist absolut richtig! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Ich stelle mir diesbezüglich meine Matrix auf und versuche
> diese zu lösen (Gaußalgorithmus), habe aber ein Problem, da
> ich 3 Unbekannte und nur 2 Gleichungen habe.Somit ist das
> Gleichungssystem unterbestimmt. Wie löst man ein
> unterbestimmtes Gleichungssystem dieser Art?
Ob du das nun als Matrix aufschreibst oder so als GLS lässt, ist dir überlassen. In diesem Fall würde ich persönlich aber mit dem GLS rechnen.
Du hast ganz Recht, dieses GLS ist unterbestimmt. Und bei einem unterbestimmten Gleichungssystem gibt es entweder keine oder unendliche viele Lösungen. Du kannst zum Beispiel die erste Gleichung nach [mm] x_1 [/mm] auflösen:
[mm] x_1=23-x_2-x_3
[/mm]
Nun kannst du diese Gleichung in die zweite Gleichung einsetzen und erhältst:
[mm] 3(23-x_2-x_3)+8x_2+11x_3=200
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 69-3x_2-3x_3+8x_2+11x_3=200
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 5x_2+8x_3=131
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 5x_2=131-8x_3
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{131-8x_3}{5}
[/mm]
Nun kannst du für [mm] x_3 [/mm] eine beliebige Zahl einsetzen, daraus dann erstmal [mm] x_2 [/mm] berechnen (nach der letzten Gleichung) und daraus dann wieder [mm] x_1 [/mm] berechnen (nach der ersten Gleichung).
Hättest du nun als Definitionsbereich ganz [mm] \IR, [/mm] so gäbe es unendlich viele Lösungen (du könntest ja für [mm] x_3 [/mm] jede mögliche Zahl einsetzen, dementsprechend ergeben sich dann auch unterschiedliche [mm] x_2- [/mm] und [mm] x_1-Werte). [/mm] Nun müssen deine Zahlen aber positiv und ganzzahlig sein - ich fürchte, da hilft nur ausprobieren.
Vielleicht ist es dann sogar einfacher, die Gleichungen erst gar nicht so umzustellen, sondern mit der ersten Ausgangsgleichung herumzuprobieren. Es gibt schließlich nur endlich viele Möglichkeiten, die Zahl 23 in positive ganzzahlige drei Summanden zu zerlegen. Ich mache mal einen Anfang:
1+1+21
1+2+20
1+3+19
usw.
2+2+19
2+3+18
usw.
3+...
usw.
Du siehst, es sind sehr viele Möglichkeiten, aber es gibt nicht unendlich viele.
Suchst du dir nun eine dieser Möglichkeiten aus, so muss du noch gucken, ob sie auch die zweite Gleichung erfüllt. Meistens merkt man bei solchen Aufgaben recht bald, welche Möglichkeiten man als nächstes ausprobieren sollte. Wenn du also z. B. meine erste Zerlegung der 23 nimmst, so erhältst du in der zweiten Gleichung:
3+8+231
und siehst direkt, dass das viel zu viel ist. Du musst also auf jeden Fall als dritte Zahl eine Zahl nehmen, die wesentlich kleiner ist als 21. Und so tastest du dich dann langsam an dein Ergebnis an.
Zugegeben, als Klausuraufgabe ist das nicht sehr gut, so viel ausprobieren zu müssen. Du kannst natürlich, wie oben schon vorgeschlagen, in die Gleichung:
[mm] x_2=\bruch{131-8x_3}{5}
[/mm]
für [mm] x_3 [/mm] einfach eine Zahl aus deinem Definitionsbereich (positiv und ganzzahlig) einsetzen, das Problem ist nur wahrscheinlich, dass du auch hier etwas probieren musst, damit für [mm] x_2 [/mm] auch etwas Ganzzahliges herauskommt...
> Als Ergebnis gibt es laut Lösungszettel zwei Lösungen.
> 1,15,7 und 4,7,12. Mich würde der genaue Rechenweg
> interessieren.
Ich habe zwar diese beiden Ergebnisse nachgerechnet (ich denke, das hast du aber auch schon  ), aber nicht geguckt, ob es wirklich alle sind. Ich fürchte, das muss man wirklich ausprobieren...
Hilft dir das denn jetzt?
Ging es dir denn eher um diese spezielle Aufgabe oder eher um die Frage, wie man unterbestimmte GLS löst?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Do 27.01.2005 | | Autor: | Duke |
Hi lexandra!
So ein unterbestimmtes LGS kannst du meiner Meinung nach nur lösen, indem du eine Variable in Abhängigkeit einer anderen ausdrückst.
(also dass, was Bastiane bei $ [mm] x_1=23-x_2-x_3 [/mm] $ gemacht hat.)
Von einer kanonischen Form hab ich noch nix gehört, wir haben nur das
Gaußverfahren gemacht (hab aber noch 1 1/2 Jahre Gymnasium vor mir!)
Tut mir Leid, dass ich dir nicht mehr helfen konnte!
Gruß Duke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 So 30.01.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Lexandra
> Hallo,
>
> Danke für die schnelle Antwort. 
>
> Das mit dem Auflösen nach einer Variable und diese wiederum
> einzusetzen, hatte ich bereits gemacht. Durch probieren
> kommt man zweifelsfrei irgendwann auf das Ergebnis. Nur
> leider ist das "Irgendwann das Problem". In einer
> Klausur hilft es nicht unbedingt weiter viel Zeit zu
> investieren und dabei nicht die volle Punktzahl zu
> erhalten, weil kein Rechenweg vorweisbar ist.
Du brauchst gar nicht so viel auszuprobieren, da die Lösungen ja ganzzahlig sind. Nach Bastianes Rechnung gilt:
[mm] x_1=23-x_2-x_3 [/mm]
Nun kannst du diese Gleichung in die zweite Gleichung einsetzen und erhältst:
[mm] 3(23-x_2-x_3)+8x_2+11x_3=200 [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] 69-3x_2-3x_3+8x_2+11x_3=200 [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] 5x_2+8x_3=131 [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] 5x_2=131-8x_3 [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] x_2=\bruch{131-8x_3}{5} [/mm]
Wenn [mm] x_2 [/mm] ganzzahlig, sein soll, muss der Zähler durch 5 teilbar sein, d.h. am Ende steht eine 0 oder 5. Das bedeutet, dass [mm] 8x_3 [/mm] als Einerziffer eine 1 (wegen des Faktors 8 nicht möglich) oder eine 6 haben. Du brauchst also nur die Werte 2, 7, 12, 17 für [mm] x_3 [/mm] auszuprobieren, wenn du nur positive Lösungen brauchst.
>
> Du hast ganz recht, ich hätte mich vielleicht etwas
> präziser ausdrücken sollen, tatsächlich geht es mir um das
> generelle Lösen eines unterbestimmten Linearen
> Gleichungssystems. Erklärt anhand eines Beispiels.
>
> Ich habe zu dem Thema nur etwas gefunden, was mir leider
> nicht ganz klar ist. Ich habe dazu gelesen, dass man mit
> Hilfe des Gauß'schen Algorithmus das Gleichungssystem in
> die kanonische Form bezüglich einer Basis gebracht bringen
> muss. Alle Nichtbasisvariablen werden gleich null gesetzt.
> Nur was ist die Basis? Ich verstehe nur Bahnhof.
Gruß Sigrid
>
>
> Lieben Gruß, Alexandra
>
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