untere Dreiecksmatrix < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Murx |
| Aufgabe | Sei A = [mm] LL^{T}, [/mm] wobei L eine reguläre, untere Dreiecksmatrix ist. Man zeige, dass
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{2} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] L [mm] \parallel_{2}^{2} [/mm] und
[mm] \parallel A^{-1} \parallel_{2} [/mm] = [mm] \parallel L^{-1} \parallel_{2}^{2} [/mm] |
Hallo an alle,
also ich hab mal so angefangen:
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{2} [/mm] = [mm] \wurzel[]{\lambda max(A^{T}A)} [/mm] = [mm] \wurzel[]{\lambda max((LL^{T})(LL^{T}))} [/mm] = [mm] \wurzel[]{\lambda max(LL^{T})²}
[/mm]
hier komme ich aber nun wegen dem Quadrat leider nicht mehr weiter, weil das ja jetzt leider nicht [mm] \parallel [/mm] L [mm] \parallel_{2}^{2} [/mm] ist...
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen, wie ich das ab hier weiter zeigen kann?
Und gilt einfach [mm] A^{-1}= L^{-1}L^{-1}^{T}? [/mm] Kann mir da vielleicht noch jemand beim Ansatz genauer weiterhelfen.
Danke schonmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Murx |
Hat denn keiner ne Idee, wie man hier weiter vorgeht?
Vielleicht ist der Ansatz ja auch komplett falsch, ich find aber leider keinen anderen.
Das sieht ja auch nach Cholesky aus. Kann man denn damit nicht irgendwas machen?
Für ein paar Tipps wär ich schon sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo Murx,
> Sei A = [mm]LL^{T},[/mm] wobei L eine reguläre, untere
> Dreiecksmatrix ist. Man zeige, dass
>
> [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_{2}[/mm] = [mm]\parallel[/mm] L [mm]\parallel_{2}^{2}[/mm]
> und
> [mm]\parallel A^{-1} \parallel_{2}[/mm] = [mm]\parallel L^{-1} \parallel_{2}^{2}[/mm]
>
> Hallo an alle,
>
> also ich hab mal so angefangen:
>
> [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_{2}[/mm] = [mm]\wurzel[]{\lambda_{\text{max}}(A^{T}A)}=\wurzel[]{\lambda_{\text{max}}((LL^{T})(LL^{T}))}=\wurzel[]{\lambda_{\text{max}}(LL^{T})²}[/mm]
>
> hier komme ich aber nun wegen dem Quadrat leider nicht mehr
> weiter, weil das ja jetzt leider nicht [mm]\parallel L\parallel_{2}^{2}[/mm] ist...
> Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen, wie ich das ab
> hier weiter zeigen kann?
Es ist doch [mm] $\| L\|_2^2=\left(\sqrt{\lambda_{\text{max}}(L^TL)}\right)^2$ [/mm] und das hast du doch rausbekommen... Du solltest evtl. noch zeigen, dass der Eigenwert [mm] $\lambda_{\text{max}}\ge [/mm] 0$ ist, sonst ist die Wurzel nicht definiert.
> Und gilt einfach [mm]A^{-1}= L^{-1}L^{-1}^{T}?[/mm] Kann mir da
> vielleicht noch jemand beim Ansatz genauer weiterhelfen.
Nein. Es gilt [mm] $(A*B)^{-1}=B^{-1}*A^{-1}$. [/mm] Also in deinem Fall [mm] $A^{-1}=\left(LL^T\right)^{-1}=\left(L^T\right)^{-1}L^{-1}=\left(L^{-1}\right)^TL^{-1}$
[/mm]
Das sollte analog zum ersten Teil funktionieren...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Murx |
Ok, danke schonmal. Das hilft schonmal weiter.
Leider seh ich aber noch nicht, warum
( [mm] \wurzel[]{\lambda_{max}(LL^{T})} [/mm] )² = [mm] \wurzel[]{\lambda_{max}(LL^{T})²} [/mm] ist.
Kann man mir das bitte noch mal erklären? Ich steh da grad auf'm Schlauch.
Und wie zeig ich genau, dass [mm] \lambda_{max} \ge [/mm] 0 ist?
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> Ok, danke schonmal. Das hilft schonmal weiter.
>
> Leider seh ich aber noch nicht, warum
> ( [mm]\wurzel[]{\lambda_{max}(LL^{T})}[/mm] )² =
> [mm]\wurzel[]{\lambda_{max}(LL^{T})²}[/mm] ist.
> Kann man mir das bitte noch mal erklären? Ich steh da grad
> auf'm Schlauch.
Das [mm] $\lambda_{\text{max}}(LL^T)$ [/mm] ist doch einfach eine Zahl - also der betragsmäßig größte Eigenwert der Matrix [mm] $LL^T$. [/mm] (Ich weiß leider nicht, wie ihr das definiert habt... ist bei [mm] $\lambda_{\text{max}}$ [/mm] der Betrag schon mit drin? Also, wenn z.B. alle EW -1 sind, ist dann [mm] $\lambda_{\text{max}}=1$ [/mm] oder [mm] $\lambda_{\text{max}}=-1$?)
[/mm]
Vielleicht auch noch hilfreich: die Matrix [mm] $LL^T$ [/mm] ist symmetrisch.
> Und wie zeig ich genau, dass [mm]\lambda_{max} \ge[/mm] 0 ist?
Kommt auf die Definition von [mm] $\lambda_{\text{max}}$ [/mm] an...
Lieben Gruß,
Fulla
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